Raiz quadrada da unidade imaginária i

por **Elcioschin** Ter 22 Out 2024, 18:09

Para treinar:

Quanto vale √i ?

por r4f4 Ter 22 Out 2024, 18:47

\[\sqrt{i}=a+bi\]

\[i=(a+bi)^2\]

\[i=a^2+2abi-b^2\]

Igualando as partes reais e imaginárias, temos:

\[a^2-b^2=0\]

\[2abi=i\to 2ab=1\to b=\frac{1}{2a}\]

Colocando na outra equação esse novo valor de b, temos que:

\[a^2-\frac{1}{4a^2}=0\to a^2=\frac{1}{4a^2}\to 4a^4=1\to a^4=\frac{1}{4}\]

\[a^4=\frac{1}{2^2}\to a=\frac{1}{2^\frac{2}{4}}\to a=\frac{1}{2^\frac{1}{2}}\to a=\frac{1}{\pm\sqrt2}\]

Portanto, temos que

\[a=\frac{1}{\sqrt2}\] \[a=\frac{1}{-\sqrt2}\]

\[b=\frac{1}{2a}\to b=\frac{\pm 1}{\sqrt2}\]

\[\sqrt{i}=\frac{1+i}{\sqrt2}\]

\[\sqrt{i}=\frac{-1-i}{\sqrt2}\]

por **Elcioschin** Ter 22 Out 2024, 19:18

Sua solução está bem clara! Você tem boa didática para explicar.

por **Giovana Martins** Ter 22 Out 2024, 19:36

Por Euler,

\[\mathrm{i=e^{i\left ( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right )}\ \therefore\ \sqrt{i}=e^{\frac{i}{2}\left ( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right )}} \]

\[\mathrm{k=\left\{ 0,1\right\}\to \sqrt{i}=e^{\frac{i}{2}\left ( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right )}=\left [ cis\left ( \frac{\pi }{4} \right ),cis\left ( \frac{5\pi}{4} \right ) \right ]=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \right\}} \]

por Lipo_f Qua 23 Out 2024, 12:14

Também é importante usar a solução mais padrão de todas: de Moivre. Vou escrever em graus por pura preguiça.
i = cis(90) -> √i = cis(90/2 + 360/2 k) = cis(45 + 180k). Então as duas raízes quadradas são cis(45) e cis(225).
cis(45) = √2/2 + √2/2 i = √2/2 (1 + i)
cis(225) = -√2/2 - √2/2 i = -√2/2 (1 + i).