Raiz quadrada da unidade imaginária i

por **Elcioschin** Ontem à(s) 23:09

Para treinar:

Quanto vale √i ?

por r4f4 Ontem à(s) 23:47

seja √i = a+bi
elevamos ambos ao quadrado
i = a^2 + 2abi - b^2
igualando as partes reais e imaginarias, temos
a^2-b^2 = 0
2abi = i
dividindo por i ambos os lados, temos
2ab = 1, b = 1/2a portanto.

Colocando na outra equação esse novo valor de b, temos

a^2 - (1/4a^2) = 0
a^2 = 1/(4a^2)
4a^4 = 1
a^4 = 1/4
a = ∜(1/4)
a = 1/(∜4)

sabemos que ∜4 = 4^(1/4) e que 4 = 2^2, logo ∜4 = 2^(2*1/4) = 2^(1/2) = √2.

Portanto, a = 1/√2 ou a = -1/√2.-
b = 1/2a, ou seja, b = 1/2*(±1/√2), que equivale a ±1/√2.

Logo, o número
√i = a+bi
√i = 1/√2+ i/√2 OU √i= -1/√2 - i/√2

Peço perdão se a resolução estiver confusa e/ou mal escrita!! Embarassed

por **Elcioschin** Hoje à(s) 00:18

Sua solução está bem clara! Você tem boa didática para explicar.

por **Giovana Martins** Hoje à(s) 00:36

Por Euler,

\[\mathrm{i=e^{i\left ( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right )}\ \therefore\ \sqrt{i}=e^{\frac{i}{2}\left ( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right )}} \]

\[\mathrm{k=\left\{ 0,1\right\}\to \sqrt{i}=e^{\frac{i}{2}\left ( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right )}=\left [ cis\left ( \frac{\pi }{4} \right ),cis\left ( \frac{5\pi}{4} \right ) \right ]=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \right\}} \]