Ita 2024 - trigonometria

por vinimasa72 Sex 11 Out 2024, 18:54

Determine: Cos(2arctg(4/3))+sen(2arctg(4/3))

Seja a tal que tg (a) = 4/3
Cos(2a)+sen(2a) = 1 + tg(2a) = 1 + (8/3)/(1-16/9) = 1 + (8/3)/(-7/9) = 1 - 24/7 = 17/7

Gabarito: 17/25

O que estou errando?

por **Giovana Martins** Sex 11 Out 2024, 19:08

Não sei dizer como você chegou em cos(2a) + sen(2a) = 1 + tg(2a), mas esta identidade não é verdadeira. Se quiser me indicar como chegou nela para podermos discutir mais acerca da sua resolução, sem problemas.

Segue uma ideia de resolução.

Sendo:

\[\mathrm{\theta = arctan \left ( \frac{4}{3} \right )\ \therefore\ tan(\theta)=\frac{4}{3}}\]

Da última tangente nota-se que estamos lidando com um triângulo pitagórico (3,4,5). Assim:

\[\mathrm{cos(2\theta)+sin(2\theta)=cos^2(\theta)-sin^2(\theta)+2sin(\theta)cos(\theta)}\]

Do triângulo retângulo citado:

\[\mathrm{cos(\theta)=\frac{3}{5} \ \wedge \ sin(\theta)=\frac{4}{5}}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{cos(2\theta)+sin(2\theta)= \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}- \left ( \frac{4}{5} \right )^{2}+2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{17}{25}}\]

por vinimasa72 Sex 11 Out 2024, 19:17

Giovana Martins escreveu:
Não sei dizer como você chegou em cos(2a) + sen(2a) = 1 + tg(2a), mas esta identidade não é verdadeira. Se quiser me indicar como chegou nela para podermos discutir mais acerca da sua resolução, sem problemas.

Segue uma ideia de resolução.

Sendo:

\[\mathrm{\theta = arctan \left ( \frac{4}{3} \right )\ \therefore\ tan(\theta)=\frac{4}{3}}\]

Da última tangente nota-se que estamos lidando com um triângulo pitagórico (3,4,5). Assim:

\[\mathrm{cos(2\theta)+sin(2\theta)=cos^2(\theta)-sin^2(\theta)+2sin(\theta)cos(\theta)}\]

Do triângulo retângulo citado:

\[\mathrm{cos(\theta)=\frac{3}{5} \ \wedge \ sin(\theta)=\frac{4}{5}}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{cos(2\theta)+sin(2\theta)= \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}- \left ( \frac{4}{5} \right )^{2}+2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{17}{25}}\]

Puts, agora que vi o erro, na minha cabeça eu igualei a 0 e dividi a equação por cos 2a, mas aí a resposta também ficaria dividida lol!