Resolva a equação

por **Victor M** Seg 05 Dez 2011, 13:05

Determine todas as soluções inteiras positivas da equação: x² - y!= 2001

por **luiseduardo** Seg 05 Dez 2011, 16:15

Olá Victor,

Tentei isso, mas acho que ainda não está completa:

x² - y! = 2001

x² - 2001 = y!

x² - y! - 2001 = 0

Delta: 0 - 4*(-1)(y! + 2001)

4(y! + 2001)

X = sqrt(y! + 2001)

y! + 2001 = a²

y! = a² - 2001

y! será par

PAR - IMPAR = IMPAR

IMPAR - IMPAR = PAR

Assim, a² deve ser ímpar.

a² > 2001

a > ~ 44,73

Então, vamos tentar com:

i) a = 45

a² = 2025

a² - 2001 = 24

y! = 24

Assim, y = 4

X' = sqrt(y! + 2001) = + 45
X'' = - 45

por christian Seg 05 Dez 2011, 16:19

hola luis tb achei y! = 24 e x = 45

45² -24 = 2001

porem como podemos saber se nao ha outros valores ?
podemos ter muitos outros ....

por **Victor M** Seg 05 Dez 2011, 18:13

Também parei nesse ponto, acredito que essa seja a unica solução, mas ainda não consegui provar isso.

por **luiseduardo** Seg 05 Dez 2011, 19:49

Acredito também que essa seja a única solução.
Acredito que seja possível provar isso usando congruência.

por mcgiorda Ter 06 Dez 2011, 13:14

Creio que não, pois vi essa questão alguns dias atrás em outro site e me lembro de ter encontrado uma solução de y com 2 algarismos, mas não me lembro (fiz utilizando a calculadora).

Talvez tenha feito errado, mas deve haver outra solução sim, pois esse exercício é de uma olimpíada.

por **luiseduardo** Ter 06 Dez 2011, 13:18

Não tem outra solução mcgiorda, mas não estou sabendo provar. Acho que tem que fazer y! +2001 mod 3 e ver como sairá o resto. Assim, saberemos se será quadrado perfeito ou não.

por mcgiorda Ter 06 Dez 2011, 13:25

Por que mod 3? Não poderia ser mod 7? Ou outros?
Desconheço essa maneira de verificar se é quadrado perfeito...
Poderia me explicar?

grato!

por **luiseduardo** Ter 06 Dez 2011, 13:28

Poderia se eu soubesse bem, mas eu conheço com mod 3.
E tenho grande convicção que a única solução é a que postei. A ideia da demonstração é como eu falei.