Questão mecânica clássica processo selet mestrado INPE

Imagine, hipoteticamente, que um engenheiro construa um tubo de vácuo perfeito que atravessa a Terra ao longo de um diâmetro da mesma. Considere um modelo simples em que a Terra é perfeitamente esférica de raio 
 R=6400km e densidade constante ρ=5.5 g/cm3. Se um objeto de massa m≪MT​ (onde MT é a massa da Terra) é largado em uma das extremidades do tubo e não há qualquer atrito do objeto com as paredes do tubo, calcule

(a) o período do movimento do objeto, e
(b) a velocidade do objeto ao passar pelo centro da Terra.

Eu fiz a questão a usando a equaçao do periodo pra mhs, calculei o volume pelo volume de uma esfera, e com isso encontrei a massa terrestre. Depois disso substitui no periodo, ai encontrei o periodo de 84,5 min. Não sei se fiz certo, não tem gabarito, nem resolução em nenhum outro lugar

acho que dessa forma esta errado

a massa da Terra é variavel ao longo do percurso do objeto no diametro da Terra, no centro por exemplo é nulo

suponha q o objeto esteja a uma distancia r <= R do centro da terra, a massa da Terra que age sob o objeto vai ser

Mt = p.4pi.r^3/3

a força gravitacional que age no objeto ainda vai ser a gravitacional da lei de Newton, portanto:

Fg = G.m.Mt/r^2 , onde r<= R ainda pela suposição

Substituindo a massa da Terra

Fg = G.m.p.4.pi.r^3/(3.r^2) ---> Fg = 4.pi.G.m.p.r/3

r é a distancia ao centro da Terra, repare que agora sim Fg representa a força do MHS, da forma:

F = -kx, onde a força sempre age em prol de restabelecer o MHS

do período do MHS, sabemos que é 

T = 2.pi.√(k/m)


T = 2.pi.V(4.pi.G.m.p/3m)

T = 2.pi.√(4.pi.G.p/3)

subtituindo os valores:

T = 2.pi.√(153,666.10^-
T = 77,88.10^-4 segundos


b) para calcular a velocidade é so fazer a conservação de energia
G.Mt.m/R = m.v^2/2