Segmentos do Triângulo

por matheus_feb Sáb 21 Set 2024, 21:32

Relembrando a primeira mensagem :

1) Um ateliê fabrica molduras em formatos diversos. Uma dessas molduras possui formato de triângulo equilátero com 48 cm de lado. Para auxiliar no suporte da tela que vai na moldura, três varetas partem de um ponto P interno ao triângulo em direção aos lados, conforme a imagem a seguir:

Segmentos do Triângulo - Página 2 W97BsnvN4aD0QAAAABJRU5ErkJggg==

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A soma dos comprimentos das varetas, em cm, é igual a:

a) 16.
b) 12√3
c) 24
d) 24√3
e) 72

por **Medeiros** Dom 22 Set 2024, 02:27

Matheus Tsilva escreveu:BF = BD seria se o ponto P estivesse na bissetriz do vértice B, nao ?

não consegui visualizar

Bissetriz, altura ou mediana, tanto faz pois o triângulo é equilátero.

por **Matheus Tsilva** Dom 22 Set 2024, 02:29

Medeiros escreveu:
Matheus Tsilva escreveu:BF = BD seria se o ponto P estivesse na bissetriz do vértice B, nao ?

não consegui visualizar
Bissetriz, altura ou mediana, tanto faz pois o triângulo é equilátero.

acho que o ponto P é um ponto qualquer interno ao triangulo, não necessariamente o ponto de encontro da bissetriz, altura ou mediana

por **Giovana Martins** Dom 22 Set 2024, 09:01

Medeiros, bom dia. É isso mesmo. Só no finzinho que o senhor se esqueceu do 3 no denominador.

Pelo Teorema de Viviani no triângulo ABC:

\[\mathrm{PD+PE+PF=h_{ \bigtriangleup ABC}}\]

Da construção geométrica:

\[\mathrm{[BCP]+[ACP]+[ABP]=[ABC]}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{\frac{1}{2}(BC\times PD+AC\times PE+AB\times PF)=\frac{L^2 \sqrt{3}}{4}}\]

Sendo AB = AC = BC = L:

\[\mathrm{PD+PE+ PF=\frac{L \sqrt{3}}{2}=h_{ \bigtriangleup ABC}}\]

Pelo Teorema de Viviani no triângulo IJK:

\[\mathrm{PM+PQ+PL=h_{ \bigtriangleup IJK}}\]

Sendo PM = AE, PQ = BF e PL = CD:

\[\mathrm{PM+PQ+PL=AE+CD+BF=h_{ \bigtriangleup IJK}}\]

Ainda da construção gráfica:

\[\mathrm{BD+CE+AF=AE+CD+BF=k,com\ k\ constante}\]

Aqui surge a afirmação do Medeiros. O que o Medeiros quer dizer é o seguinte: esta igualdade ocorre, pois quando o ponto P percorre a região interna do triângulo ABC, os pontos D, E e F se reposicionam de forma proporcional, tal que se o ponto F andar uma distância x sobre o segmento AB e em direção ao ponto B, o segmento BF diminuirá x unidades enquanto o segmento AF aumentará x unidades. O mesmo vale para os segmentos AC e BC em relação aos pontos E e D, respectivamente.

E sim, o ponto P é um ponto interno qualquer ao triângulo. Não necessariamente é um ponto notável.

Agora, temos a seguinte igualdade:

\[\mathrm{BD+CE+AF+AE+CD+BF=2k=3L\ \therefore\ BD+CE+AF=\frac{3L}{2}}\]

Deste modo:

\[\mathrm{\frac{PD+PE+PF}{BD+CD+AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\]

Ainda dá para explorar um pouquinho mais deste exercício. Segue para quem quiser tentar.

Mostre que:

\[\mathrm{\frac{1}{PD}+\frac{1}{PE}+\frac{1}{PF}\geq \frac{6\sqrt{3}}{L}}\]

\[\mathrm{\frac{1}{PD+PE}+\frac{1}{PE+PF}+\frac{1}{PD+PF}\geq \frac{3\sqrt{3}}{L}}\]

por matheus_feb Dom 22 Set 2024, 10:05

Giovana Martins escreveu:
Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Viviani, o qual diz que:

\[\mathrm{\ell_1 +\ell_2 +\ell_3 =\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]

Nunca ouvi falar desse teorema... teria outra forma de resolver? Quebrei a cabeça tentando achar uma resolução por semelhança de triângulos, lei do cosseno... mas não consegui extrair nada.

por **Giovana Martins** Dom 22 Set 2024, 10:18

matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Viviani, o qual diz que:

\[\mathrm{\ell_1 +\ell_2 +\ell_3 =\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]
Nunca ouvi falar desse teorema... teria outra forma de resolver? Quebrei a cabeça tentando achar uma resolução por semelhança de triângulos, lei do cosseno... mas não consegui extrair nada.

Bom dia, Matheus.

Então, você não precisa conhecer o Teorema de Viviani.

Basta que você faça o seguinte: na figura do seu enunciado, apenas indique os pontos A, B e C. Da construção geométrica:

\[\mathrm{[BCP]+[ACP]+[ABP]=[ABC]}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{\frac{1}{2}(BC\times PD+AC\times PE+AB\times PF)=\frac{L^2 \sqrt{3}}{4}}\]

Sendo AB = AC = BC = L:

\[\mathrm{PD+PE+ PF=\frac{L \sqrt{3}}{2}=h_{ \bigtriangleup ABC}=\frac{48 \sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]

Note que se eu não tivesse enunciado o nome do teorema ele passaria batido.

por **Giovana Martins** Dom 22 Set 2024, 10:19

Giovana Martins escreveu:
matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Viviani, o qual diz que:

\[\mathrm{\ell_1 +\ell_2 +\ell_3 =\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]
Nunca ouvi falar desse teorema... teria outra forma de resolver? Quebrei a cabeça tentando achar uma resolução por semelhança de triângulos, lei do cosseno... mas não consegui extrair nada.

Bom dia, Matheus.

Então, você não precisa conhecer o Teorema de Viviani.

Basta que você faça o seguinte: na figura do seu enunciado, apenas indique os pontos A, B e C. Da construção geométrica:

\[\mathrm{[BCP]+[ACP]+[ABP]=[ABC]}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{\frac{1}{2}(BC\times PD+AC\times PE+AB\times PF)=\frac{L^2 \sqrt{3}}{4}}\]

Sendo AB = AC = BC = L:

\[\mathrm{PD+PE+ PF=\frac{L \sqrt{3}}{2}=h_{ \bigtriangleup ABC}=\frac{48 \sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]

Note que se eu não tivesse enunciado o nome do teorema ele passaria batido.

E o desenvolvimento acima corresponde a uma forma de demonstração do Teorema de Viviani.

por matheus_feb Dom 22 Set 2024, 10:24

Giovana Martins escreveu:
matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Viviani, o qual diz que:

\[\mathrm{\ell_1 +\ell_2 +\ell_3 =\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]
Nunca ouvi falar desse teorema... teria outra forma de resolver? Quebrei a cabeça tentando achar uma resolução por semelhança de triângulos, lei do cosseno... mas não consegui extrair nada.

Bom dia, Matheus.

Então, você não precisa conhecer o Teorema de Viviani.

Basta que você faça o seguinte: na figura do seu enunciado, apenas indique os pontos A, B e C. Da construção geométrica:

\[\mathrm{[BCP]+[ACP]+[ABP]=[ABC]}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{\frac{1}{2}(BC\times PD+AC\times PE+AB\times PF)=\frac{L^2 \sqrt{3}}{4}}\]

Sendo AB = AC = BC = L:

\[\mathrm{PD+PE+ PF=\frac{L \sqrt{3}}{2}=h_{ \bigtriangleup ABC}=\frac{48 \sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]

Note que se eu não tivesse enunciado o nome do teorema ele passaria batido.

Bom dia. Consegui entender. Você fragmentou o triângulo maior em três, que juntos correspondem a área total do maior. Não havia pensado nessa saída. Obrigado pela ajuda, Giovana! Very Happy

por **Matheus Tsilva** Dom 22 Set 2024, 10:24

Giovana Martins escreveu:

Ainda da construção gráfica:

\[\mathrm{BD+CE+AF=AE+CD+BF=k,com\ k\ constante}\]

não consegui visualizar esse passo aqui ainda

esse triangulo IJH criado é equilatero ?

por **Giovana Martins** Dom 22 Set 2024, 10:25

matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Viviani, o qual diz que:

\[\mathrm{\ell_1 +\ell_2 +\ell_3 =\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]
Nunca ouvi falar desse teorema... teria outra forma de resolver? Quebrei a cabeça tentando achar uma resolução por semelhança de triângulos, lei do cosseno... mas não consegui extrair nada.

Bom dia, Matheus.

Então, você não precisa conhecer o Teorema de Viviani.

Basta que você faça o seguinte: na figura do seu enunciado, apenas indique os pontos A, B e C. Da construção geométrica:

\[\mathrm{[BCP]+[ACP]+[ABP]=[ABC]}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{\frac{1}{2}(BC\times PD+AC\times PE+AB\times PF)=\frac{L^2 \sqrt{3}}{4}}\]

Sendo AB = AC = BC = L:

\[\mathrm{PD+PE+ PF=\frac{L \sqrt{3}}{2}=h_{ \bigtriangleup ABC}=\frac{48 \sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ cm}\]

Note que se eu não tivesse enunciado o nome do teorema ele passaria batido.
Bom dia. Consegui entender. Você fragmentou o triângulo maior em três, que juntos correspondem a área total do maior. Não havia pensado nessa saída. Obrigado pela ajuda, Giovana!

Isso aí.

por **Giovana Martins** Dom 22 Set 2024, 10:29

Matheus Tsilva escreveu:
Giovana Martins escreveu:

Ainda da construção gráfica:

\[\mathrm{BD+CE+AF=AE+CD+BF=k,com\ k\ constante}\]

não consegui visualizar esse passo aqui ainda

esse triangulo IJH criado é equilatero ?

Sim, sim. À noite eu faço mais algumas construções.