[rumoaoita.com] Equação Exponencial

por ogalano Sáb 21 Set 2024, 16:41

Quantas soluções reais possui a equação 2^x + 3^x = 6^x?

Gabarito: uma solução

por **Elcioschin** Sáb 21 Set 2024, 16:56

Dividindo por 6^x ---> 1/3^x + 1/2^x = 1

Para x = 1/2 ---> 1/3^(1/2) + 1/2^(1/2) = 1/√3 + 1/√2 ~= 0,6 + 0,7 ~= 1,3 --> Supera 1

Para x = 1 ---> 1/3¹ + 1/2¹ --> 1/3 + 1/2 ~= 0,3 + 0,5 ~= 0,8 ---> Falta para chegar a 1

Existe uma raiz real no intervalo 1/2 < x < 1

por **Giovana Martins** Sáb 21 Set 2024, 22:58

Uma saída meio "carteada" caso estivéssemos lidando com uma questão de alternativas. É só para chegarmos rapidamente a uma resposta.

Vou utilizar algumas noções de limites e continuidade de funções.

Quando x tende a menos infinito, 1/3^x + 1/2^x tende a mais infinito.

Quando x tende a mais infinito, 1/3^x + 1/2^x tende a zero.

A função f(x) = 1/3^x + 1/2^x não apresenta restrições, logo, é contínua para todo x real tal.

Deste modo, tem-se que a conformação gráfica de f(x) = 1/3^x + 1/2^x é semelhante a um ramo de hipérbole.

Para y = 1, tem-se uma reta paralela que intersecta f(x) = 1/3^x + 1/2^x em único ponto, portanto, o que indica que a igualdade 1/3^x + 1/2^x = 1 tem apenas uma solução real.

Em uma prova discursiva eu creio que esta solução não seria bem vista, pois falta rigor técnico.

por ogalano Seg 23 Set 2024, 19:47

Elcioschin escreveu:Dividindo por 6^x ---> 1/3^x + 1/2^x = 1

Para x = 1/2 ---> 1/3^(1/2) + 1/2^(1/2) = 1/√3 + 1/√2 ~= 0,6 + 0,7 ~= 1,3 --> Supera 1

Para x = 1 ---> 1/3¹ + 1/2¹ --> 1/3 + 1/2 ~= 0,3 + 0,5 ~= 0,8 ---> Falta para chegar a 1

Existe uma raiz real no intervalo 1/2 < x < 1

Muito Obrigado!