Identidade Trigonometrica - Questão 264 Iezzi - Vol. 3

Olá, galera, alguém poderia me ajudar c/ a demonstração da seguinte identidade abaixo:

(cos x + cos y)/(sen x + sen y) = (sen x + sen y)/(cos y - cos x)?

Desde já, agradeço.

Questão 269 do Vol. 3 do livro Iezzi, Trigonometria.

A maneira sinceramente mais natural de fazer isso é aplicar a prostaférese dos dois lados. Basicamente o que faço é ter a expressão A e chegar em K => A = K. Tenho a B e também chego em K => B = K, logo por extensão, A = B. Aliás, olhei o enunciado no livro e você escreveu senx + seny na primeira. Na verdade, é -.

Na primeira:
[latex]\dfrac{cos x + cos y}{sen x - sen y} = \dfrac{2cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)}{2sen\left(\dfrac{x-y}{2}\right)cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)} = \dfrac{cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)}{sen\left(\dfrac{x-y}{2}\right)} = \cot\left(\dfrac{x+y}{2}\right)[/latex]

Na segunda:
[latex]\dfrac{sen x + sen y}{cos y - cos x} = \dfrac{2sen\left(\dfrac{x+y}{2}\right)cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)}{-2sen\left(\dfrac{y+x}{2}\right)sen\left(\dfrac{y-x}{2}\right)} = \dfrac{cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)}{-sen\left(\dfrac{y-x}{2}\right)} =  \dfrac{cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)}{sen\left(\dfrac{x-y}{2}\right)} = \cot\left(\dfrac{x+y}{2}\right)[/latex]

Então as duas expressões principais são equivalentes.

Obrigado pela demonstração, amigo. Estava tentando encontrar a equivalência saindo de um e indo pro outro.
Sobre o enunciado, realmente, acabei comentando um erro de escrita, obrigado por corrigir.