Geometria espacial

A figura a seguir indica um paralelepípedo reto retân gulo de dimensões 5x5x4, em centímetros, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices. 

a) Calcule a área do triângulo ABC. 

b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC.

No item b, apliquei  a seguinte relação no triangulo retângulo: o produto dos catetos é igual ao produto da hipotesusa pela altura, cuja equação apresentei a lápis na imagem abaixo (chamei a altura de X). Porém, o resultado não coincidiu com o gabarito... Onde erro...?!

Spoiler:

Companheiro, se você tem os gabaritos, deve fornecer.

Por acaso o gabarito é

Exato, são esses mesmos os gabaritos... Medeiros... Medeiros, perdão pelo não fornecimento do gabarito... Trata-se de uma questão aberta e não o vi, pois ele estava no final do caderno de tarefas... Mas como você equacionou esse problema e porque da minha forma não deu certo...?!

wadekly escreveu: Porém, o resultado não coincidiu com o gabarito... Onde erro...?!

Não sei o que vem a ser "questão fechada" (ou aberta), mas conforme declaração sua, você tem o gabarito. Por favor EDITe sua primeira mensagem acrescentando o gabarito que você tem.

Medeiro, creio que, em exatas, é decisivo a compreensão do esquema de resolução e da sua execução, pois, se isso não acontecer, irei reincindir nos mesmos erros de comprenssão e interpretação em questões semelhantes...Então, é fudamental que você esclareça aminha dúvida, por gentileza... Uma questão aberta (talvez não seja um termo técnico mais adequado) é uma questão discursiva...GRATO!!

Wadekly,

somente não expus minha resolução anteriormente em atendimento às Regras do fórum que exigem a postagem do gabarito quando conhecido.
Você estava indo por um bom raciocínio, apenas se enganou em qual ponto a distância partindo de D iria tocar o triângulo ABC. Segue minha resolução.



Usamos apenas Pitágoras.
A base do paralelepípedo é um quadrado de lado 5, portanto a diagonal BC = 5√2. AB e AC são hipotenusas de triângulo com catetos 4 e 5, logo AB = AC = √41 e portanto ABC é triângulo isósceles.

Vamos começar calculando a distância d do vértice D ao plano do triângulo ABC (item b).

Sendo M o ponto médio de BC, também é o ponto de cruzamento das diagonais da base do parelelepípedo e AM é altura do triângulo ABC. Observando que DBC é triângulo retângulo isósceles, a projeção de AM sobre a base do paralelepípedo é DM. Assim a distância d será perpendicular à altura AM do triângulo ABC.

Agora, contas:

∆AMC --->  AM² = (√41)² - (5√2/2)²  = 57/2  ----->  AM = (√114)/2
DM = CM = 5√2/2 , pois um quadrado tem diagonais de mesma medida cortando-se no ponto médio delas.

∆AMD ---->  AD.DM = DN.AM  ----->  4.5√2/2 = d.(√114)/2  ----->  d = 20.√2/(√2.√57)  ---->  d = 20.√57/57

Agora o cálculo da área do triângulo ABC (item a).

Já que temos a medida dos três lados do triângulo, podíamos usar a fórmula de Heron -- S = [p.(p-a).(p-b).(p-c)]^1/2 -- mas achei que seria trabalhoso face a existência das raízes quadradas.
Então vou usar --->  S = (1/2).b.c.senθ

sen(θ/2) = 5√2/(2√41)
cos(θ/2) = √114/(2√41)
sen(θ) = 2.sen(θ/2).cos(θ/2) = 2.[5√2/(2√41)].[√114/(2√41)]  ---->  senθ = 5√57/41 --> (θ ≈ 67°)

S = (1/2).√41.√41.5√57/41  ----->  S = 5√57/2

BRAVÍSSIMO, Medeiros... Seguramente, principalmente em uma circunstância de prova, dificilmente eu alcançaria toda a complexidade da sua análise, especialmente no item B... Cheguei até a calcular a área no item A, mas não tive a percepção que você teve quanto ao item B... Realmente, achei muito elaborado voêce resolver o item A por trigonometria, e ainda com arcos duplos... Você me poderia sugerir algumas regras gerais para abordagem de questões de geometria...?!

wadekly escreveu:... Você me poderia sugerir algumas regras gerais para abordagem de questões de geometria...?!

Realmente para a área do triângulo (item a), dado o que já havíamos calculado, seria mais fácil simplesmente fazer BC.AM/2; mas resolvi explorar algo diferente.

Quanto às "regras gerais de abordagem" que você solicita, não me julgo capaz de dar regras a ninguém. O máximo que posso dizer é que a experiência vem com a prática, i.e., faça bastante exercícios, quantos mais, melhor.

Aqui no fórum temos os colegas DaoSeek e Lipo_f que são muito bons em geometria (entre outras matérias), talvez eles possam sugerir essas regras que você imagina.

Abç.

Grato, Medeiros... Fico à disposição...