O valor mínimo de √x^2 + y^2
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O valor mínimo de √x^2 + y^2
por SrJorgensen Ter 18 Jun 2024, 10:11
O valor mínimo de [latex]\sqrt{x^2 + y^2} [/latex] se 5x + 12y = 60 é igual a:
a) 60/13
b) 13/5
c) 13/12
d) 1
e) 0
a) 60/13
b) 13/5
c) 13/12
d) 1
e) 0
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SrJorgensen- Padawan
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Re: O valor mínimo de √x^2 + y^2
por Elcioschin Ter 18 Jun 2024, 11:52
5.x + 12.y = 60 ---> 12.y = 60 - 5.x ---> y = 5 - (5/12).x
z = x² + y² --> z = x² + [ 5 - (5/12).x]² --> z = x² + 25 - (25/6).x + (25/144).x²
z = (169/144).x² - (25/6).x + 25
Valor mínimo da parábola: xV= - b/2.a --->
xV = (25/6)/2.(169/144) --> xV = 300/169
Basta agora calcular o valor mínimo √z
z = x² + y² --> z = x² + [ 5 - (5/12).x]² --> z = x² + 25 - (25/6).x + (25/144).x²
z = (169/144).x² - (25/6).x + 25
Valor mínimo da parábola: xV= - b/2.a --->
xV = (25/6)/2.(169/144) --> xV = 300/169
Basta agora calcular o valor mínimo √z
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: O valor mínimo de √x^2 + y^2
por DaoSeek Ter 18 Jun 2024, 12:46
Se conhece a desigualdade de Cauchy, sai direto dela. Ela pode ser enunciada assim: Sendo a,b,x,y quaisquer, vale que
\(ax + by \leq \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{x^2+y^2}\)
A igualdade ocorre quando existe k tal que x = ak e y = bk.
Ou seja, para a = 5 e b = 12 temos:
\(60 = 5x+12y \leq \sqrt{5^2 + 12^2} \sqrt{x^2+ y^2} \implies \sqrt{x^2+y^2} \geq \dfrac{60}{\sqrt{169}} = \dfrac{60}{13} \)
Ou seja, o mínimo é 60/13
\(ax + by \leq \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{x^2+y^2}\)
A igualdade ocorre quando existe k tal que x = ak e y = bk.
Ou seja, para a = 5 e b = 12 temos:
\(60 = 5x+12y \leq \sqrt{5^2 + 12^2} \sqrt{x^2+ y^2} \implies \sqrt{x^2+y^2} \geq \dfrac{60}{\sqrt{169}} = \dfrac{60}{13} \)
Ou seja, o mínimo é 60/13
DaoSeek- Jedi
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