Seleção para mestrado em Física - UFCG 2019.2

Considere que uma partícula é descrita pela seguinte função de onda:
   [latex]\psi (x)=Axe^{-\alpha x} [/latex] para x>0
[latex]\psi (x)=0 [/latex] para [latex] x\leq0
[/latex]

a) Encontre a constante de normalização A;
b) Para qual valor de x a densidade de probabilidade [latex]P(x)=\left | \psi \right |^{2}[/latex] possui um pico?
c) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e [latex]x=1/ \alpha[/latex]?

No final de 2023 estudei para a seleção de mestrado em Física da UFCG e resolvi todas as provas anteriores disponibilizadas no site do PPGF. Em breve estarei postando aos poucos essas resoluções, no intuito de ajudar outros estudantes que queiram se preparar para seleções desse tipo.

a) A constante de normalização pode ser encontrada a partir da condição de normalização, dada a seguir:
   [latex]\int_{-\infty }^{\infty}\psi ^{*}\psi \, dx =1[/latex]
Onde o termo com * indica o complexo conjugado da função de onda. No entanto, como temos uma função real, o complexo conjugado é igual a própria função. Note que a função é definida como diferente de zero apenas para x>0. Assim, nossa integral que inicialmente era de menos infinito a infinito, agora vai de zero a infinito. Substituindo psi, temos:
[latex]\int_{0}^{\infty}Axe^{-\alpha x}.Axe^{-\alpha x} \, dx = A^{2}\int_{0 }^{\infty}x^{2}e^{-2\alpha x} \, dx=1 [/latex]
Passamos A para fora da integral pois trata-se de uma constante (a nossa constante de normalização). Ficamos agora com uma integral de x quadrado vezes um termo exponencial. Para resolvermos integrais desse tipo aplicamos a técnica de integração por partes. Tomando:
[latex]u=x^{2}, dv=e^{-2\alpha x}[/latex]
Teremos:
[latex]du=2x, v=-\frac{1}{2\alpha }e^{-2\alpha x}[/latex]
Assim,
[latex]uv-\int v.du =A^{2}\left [ x^{2}\left (-\frac{1}{2\alpha }  \right )e^{-2\alpha x}|^{\infty }_{0}+\frac{1}{2\alpha }\int_{0 }^{\infty}2xe^{-2\alpha x} \, dx \right ]=1 [/latex]
Perceba que, pela aplicação dos limites de integração o primeiro termo vai a zero, pois a exponencial de menos infinito vai a zero no limite onde x vai a infinito, e x vai a zero no limite 0. Temos, então:
[latex]A^{2}\frac{1}{\alpha }\int_{0 }^{\infty}xe^{-2\alpha x} \, dx[/latex]
Aqui aplicamos novamente a integração por partes, onde:
[latex]u=x, dv=e^{-2\alpha x}[/latex]
Assim, teremos:
[latex]du=1, v=-\frac{1}{2\alpha }e^{-2\alpha x}[/latex]
Logo:
[latex]uv-\int v.du =A^{2}\left[x\left (-\frac{1}{2\alpha }  \right )e^{-2\alpha x}|^{\infty }_{0}+\frac{1}{2\alpha^{2} }\int_{0 }^{\infty}e^{-2\alpha x} \, dx\right]=1 [/latex]
Novamente, a exponencial vai a zero no limite superior e x vai a zero no limite inferior, logo o primeiro termo é zero, e ficamos apenas com:
[latex]A^{2}\frac{1}{2\alpha^{2} }\int_{0 }^{\infty}e^{-2\alpha x} \, dx=1 [/latex]
Agora basta integrar o termo exponencial, cujo resultado já conhecemos do termo dv das integrações por partes, e temos então:
[latex]-A^{2}\frac{1}{4\alpha^{3} }e^{-2\alpha x}|^{\infty}_{0} =1 [/latex]
No limite superior a exponencial vai a zero, como bem sabemos, equanto, no limite inferior ela vai a 1, já que qualquer número elevado a zero é um. Portanto:
[latex]-A^{2}\frac{1}{4\alpha^{3}}\left [ 0-1 \right ]=1[/latex]
[latex]A^{2}=4\alpha^{3}[/latex]
[latex]A=2\alpha\sqrt{\alpha}[/latex]

Esses problemas dão um certo trabalho para digitar, e estou começando a utilizar latex agora. Então, aos poucos vou postando essas resoluções. Caso alguém que veja essa postagem tenha interesse nesses tópicos, ou esteja estudando pra essa seleção ou de outras universidades do nordeste, pode me enviar uma mensagem direta aqui no fórum, que posso compartilhar algumas de minhas resoluções. Caso também alguém encontre alguma inconsistência na resolução ou algum erro de digitação ficarei grato se avisar.

b) Temos que determinar de início a densidade de probabilidade P(x), que, segundo a interpretação probabilística da mecânica quântica, é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda. Além disso, como sabemos, o módulo quadrado é igual ao complexo conjugado da função de onda vezes ela mesma:
   [latex]P(x)=\left | \psi \right |^{2}=\psi^{*}\psi [/latex]
Substituindo a função de onda do enunciado:
   [latex]P(x)=A^{2}x^{2}e^{-2 \alpha x}[/latex]
Com a constante A obtida no item a), temos:
   [latex]P(x)=4\alpha ^{3}x^{2} e^{-2 \alpha x}[/latex]

Para determinarmos o valor onde P(x) é máxima devemos utilizar um velho conhecido: o teorema de máximos e mínimos do cálculo. Esse teorema diz que para encontrarmos pontos de máximo ou mínimo em uma função, devemos tomar sua derivada e igualar a zero. Logo:
   [latex]\frac{\mathrm{d} P(x)}{\mathrm{d} x}=0[/latex]
   [latex]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4\alpha ^{3}x^{2} e^{-2 \alpha x})=0[/latex]
Perceba que essa derivada exige uma regra do produto entre x² e o termo exponencial, logo, tomando a derivada, temos:
   [latex]4\alpha ^{3}(2xe^{-2 \alpha x}+x^{2}(-2\alpha)e^{-2 \alpha x})=0[/latex]
Como 4 alfa ao cubo é constante, o único responsável por zerar a equação deve ser o termo entre parênteses. Logo:
   [latex]2xe^{-2 \alpha x}-2x^{2}\alpha e^{-2 \alpha x}=0[/latex]
   [latex]2xe^{-2 \alpha x}=2x^{2}\alpha e^{-2 \alpha x}[/latex]
   [latex]xe^{-2 \alpha x}=x^{2}\alpha e^{-2 \alpha x}[/latex]
   [latex]x=x^{2}\alpha [/latex]
   [latex]\frac{1}{\alpha }=\frac{x^{2}}{x}[/latex]
   [latex]x=\frac{1}{\alpha }[/latex]

Portanto, um sobre alfa é o valor para qual x tem a densidade de probabilidade máxima.