Questão 15 - Seleção de mestrado 2014

Um transeunte assistiu a um acidente automobilístico, do qual um dos envolvidos fugiu. Ele conseguiu ver a placa do  veículo de relance, não conseguindo identificar suas três  letras e seus quatro algarismos, mas conseguiu dar as seguintes informações à polícia:

I. a primeira e a segunda letra eram A e L,respectivamente;
II. a terceira letra era E ou F;
III. o primeiro algarismo era 1 ou 7;
IV. o quarto algarismo era 9;
V. os quatro algarismos da placa eram diferentes. 

Quantas placas satisfazendo essas condições existem ?  

a) 206

b) 224

c) 240

d) 256

e) 264

Pelo alternativas disponíveis supõe-se que ou o 1 ou o 7 possam fazer parte dos algarismos do meio.

Neste caso, as proposições III e V se contradizem pois a testemunha não poderia afirmar que os quatro algarismos são diferentes.

Sugestão de solução:

A Placa será ==> AL [E ou F] [1 ou 7] __ __ 9

Possibilidades de Placas:

AL9 = tem certeza de identificação destes itens

Terceira letra pode ser E ou F = 2 possibilidades

Primeiro número pode ser 1 ou 7 = 2 possibilidades

Portanto temos ==> 2 . 2 = 4 possibilidades para estes itens

Para os números que restam, excluímos o 1 e o 7, sobram 8 números Combinados 2 a 2.

C (8,2) = (8!) / [ 2! x (8 - 2)!] ==> C(8,2) = 56

Total = 4 x 56 = 224

Opção (B)

Prezado Plauto,

1)
C(8, 2) = 28
Então 4×28 = 112.

2)
Pensei assim:
A última letra e o primeiro dígito correspondem a 4 possibilidades de placas -- pensamos igual até aqui.

Para os dois dígitos que restam no meio, excluímos o 1, o 7 e o 9. Sobram, portanto, 7 algarismos.

Mas não vejo porquê combinar sete dois a dois -- mesmo porque o par, por exemplo, 34 é diferente do par 43, coisa ignorada pela combinação. Para o primeiro deles, há realmente 7 possibilidades; porém, uma vez escolhido este, sobram apenas seis algarismos para o segundo (conf. proposição V).

Total = 2 × 2 × 7 × 6 = 168

3)
Pelas alternativas oferecidas percebo que a solução dada pelo examinador considera o seguinte:
a) última letra -----> 2 possibilidades;
b) o primeiro algarismo é 1 ou 7 -----> 2 possibilidades;
c) uma vez escolhido o primeiro algarismo, o outro (o 7 ou o 1) fica livre para integrar o rol dos possíveis para preencher as duas vagas do meio. Portanto sobram 8 algarismos para o segundo dígito e sete para o terceiro -----> 8 × 7 = 56 possibilidades
Total = 2 × 2 × 8 × 7 = 224

4)
NÃO concordo com o raciocínio em 3c acima, o que motivou meu comentário anterior, por ser contraditório às proposições dadas.

Vamos considerar que o primeiro dígito é o 1. Não podemos considerar o algarismo 7 como possível para o 3° ou 4° dígitos porque, pela proposição V, a testemunha SABE que todos os dígitos SÃO DIFERENTES. Ora, ela não sabe se o 1° é 1 ou 7 mas sabe que ele não se repete nos outros dígitos, portanto nem o 1 e nem o 7 aparecem nos outros.

Se a testemunha achasse que o 7 poderia aparecer nos dígitos 3° ou 4° e que também pudesse estar no 1° dígito, então não poderia afirmar a proposição V -- ou, se afirma esta, não pode dizer a III.

Olá Medeiros, obrigado pela interação e retorno.

Sobre o raciocínio, creio que o correto é o que explicou no item 3, para chegar ao resultado de 224.

Detalhando, o observador não sabe se o primeiro dígito é 1 ou 7 mas, como você disse, interpretei que se fixa o 1, o sete está liberado para compor o Rol dos oito dos demais. E vice-versa para o 7, que libera o 1.

Em todo o caso, esta troca de informações foi muito boa e me ajudou a relembrar a matéria. Obrigado.

Nota, realmente tive um engano de cálculo na primeira vez que postei minha resposta, obrigado pela correção.