equação trigonométrica

Sen3x=Senx

Qual o raciocínio pra resolver?

Gabarito: {x ∈ ℝ | x=kπ ou x=(π/4)+(kπ/2);k ∈ ℤ}

Boa tarde. As soluções da equação sen(α) = sen(β) são da seguinte forma:
[latex] \alpha = \beta + 2k\pi \: \: ou \: \: \alpha = (\pi- \beta) + 2k\pi \: \:,\:\: k\: \epsilon  \: Z [/latex]
Sempre que em uma equação você chegar em uma igualdade de senos, deve aplicar as 2 etapas acima para encontrar todas as soluções.
Aplicando isso na questão:
[latex] sen(3x)=sen(x)
I) 3x = x + 2k\pi \rightarrow x = k\pi
II)3x = \pi - x + 2k\pi \rightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}
S = \left \{ x \: \epsilon  \: \Re \: | \:  x = k\pi \: ou  \: x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\: , \: k\: \epsilon  \: Z \right \} [/latex]
Existe o mesmo procedimento para os casos cos(α) = cos(β) e tg(α) = tg(β), caso queira, dê uma olhada no seguinte material: https://matematicauniban.files.wordpress.com/2010/09/equacoes-e-inequacoes-trigonometricas-aula-06.pdf

Leonardo Mariano escreveu:Boa tarde. As soluções da equação sen(α) = sen(β) são da seguinte forma:
[latex] \alpha = \beta + 2k\pi \: \: ou \: \: \alpha = (\pi- \beta) + 2k\pi \: \:,\:\: k\: \epsilon  \: Z [/latex]
Sempre que em uma equação você chegar em uma igualdade de senos, deve aplicar as 2 etapas acima para encontrar todas as soluções.
Aplicando isso na questão:
[latex] sen(3x)=sen(x)
I) 3x = x + 2k\pi \rightarrow x = k\pi
II)3x = \pi - x + 2k\pi \rightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}
S = \left \{ x \: \epsilon  \: \Re \: | \:  x = k\pi \: ou  \: x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\: , \: k\: \epsilon  \: Z \right \} [/latex]
Existe o mesmo procedimento para os casos cos(α) = cos(β) e tg(α) = tg(β), caso queira, dê uma olhada no seguinte material: https://matematicauniban.files.wordpress.com/2010/09/equacoes-e-inequacoes-trigonometricas-aula-06.pdf

obrigado cara, essa parte ta meio abstrata pra mim, mas deu pra sacar o raciocinio, vlw

Outra solução, com passo-a-passo:

sen(3.x) = senx ---> sen(2.x + x) = senx --->

sen(2.x).cosx + senx.cos(2.x) = senx --->

(2.senx.cosx).cosx + senx.(1 - 2.sen²x) = senx --->

2.senx.cos²x + senx - 2.sen³x ---> senx --->

2.senx.(1 - sen²x) - 2.sen³x = 0 ---> 2.senx - 2.sen³x - 2.sen³x = 0

2.senx - 4.sen³x = 0 ---> :2 ---> senx - 2.sen³x = 0 ---> 

senx.(1 - 2.sen²x) = 0

Soluções:

I) senx = 0 ---> complete

2) 1 - 2.sen²x = 0 ---> Complete