Paradoxo do Aniversário

Qual a probabilidade de 3 pessoas, em um grupo de n pessoas, fazerem aniversário no mesmo dia do ano?

Penso que seja isso:

1) A probabilidade de que absolutamente nenhuma pessoa faça aniversário no mesmo dia que outra é dada por:

\[P_1=\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{365-(n-1)}{365}\]

Rearranjando, ficamos:

\[P_1 = \frac{365!}{365^n \times (365-n)!}\]

2) A probabilidade de que precisamente 2 pessoas façam aniversário no mesmo dia que outra é:

i) Precisamos definir a dupla: \( C(n,2) \)
ii)Agora, garantimos a não interseção de datas da mesma forma que fizemos no caso 1, porém, garantindo que as duas pessoas escolhidas irão fazer aniversário no mesmo dia:

\[P_2= \underbrace{C(n,2) \times \frac{365}{365} \times \frac{1}{365}}_{mesmo \;dia}\;\;\times\;\;\underbrace{\frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times...\times \frac{365-(n-2))}{365}}_{dias\;diferentes}\]

\[\therefore P_2=\frac{C(n,2)\times 365!}{365^n \times (365-(n-1))!}\]


3) Utilizando a probabilidade complementar, a chance de que 3 pessoas façam aniversário no mesmo dia é:

\[P=1-P_1-P_2\]
\[\therefore \fbox{$P=1-\frac{365!}{365^n \times (365-n)!}-\frac{C(n,2)\times 365!}{365^n \times (365-(n-1))!}$}\]