Eletrização
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Eletrização
por mdrz1n Qua 06 Mar 2024, 15:04
Eu criei uma questão de eletrização, mas cheguei em uma parte que eu não consegui passar (não sei se está certo e nem sei se é possível fazer essa questão) e preciso de ajuda!
Seja [latex]a_{1},a_{2},a_{3},... ,a_{2024}[/latex] pequenas esferas condutoras e isoladas que suas cargas formam uma progressão aritmética de razão [latex]r[/latex]. As esferas que, inicialmente estão separadas entre si, são submetidas a contatos sucessivos de modo que [latex]a_{1}[/latex] e [latex]a_{2}[/latex] atinjam seu equilíbrio eletroestático, que se obtém [latex]a_{1}{}' = a_{2}{}'[/latex]. Após isso, [latex]a_{2}{}'[/latex] entra em contato com [latex]a_{3}[/latex] até atingir novamente o equiliíbrio, com [latex]a_{2}{}'' = a_{3}{}'[/latex], repetindo o processo até que [latex]a_{2023}{}'' = a_{2024}{}'[/latex]. Depois, é colocado a esfera [latex]a_{2024}{}'[/latex] de massa igual a [latex]m[/latex], a uma distância [latex]d[/latex] da esfera [latex]a_{1}{}'[/latex]. Essa esfera é liberada, de maneira que se move em relação a [latex]a_{1}{}'[/latex]. Determine a aceleração em [latex]m /s^{2}[/latex] da carga de [latex]a_{2024}{}'[/latex], no instante de sua liberação.
[latex] \frac{a_{1} + a_{2}}{2} = a_{2}{}' \\e\;\ \frac{ a_{2}{}' + a_{3}}{2} = a_{3}{}' \\\frac{ \frac{ a_{1}{} + a_{2}}{2} + a_{3} }{2}= a_{3}{}' \;\ logo: \;\frac{ a_{1}{} + a_{2} +2a_{3}{}}{4} = a_{3}{}' [/latex]
Fazendo a conta, percebe-se que
[latex]\frac{ a_{1}{} + 2^{0}a_{2} +2^{1}a_{3}{}+ 2^{2}a_{4} +2^{3}a_{5} +... + 2^{2022}a_{2024}{}}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{} + 2^{0}(a_{1}+r) +2^{1}(a_{1}+2r){}+ 2^{2}(a_{1}+3r) +... + 2^{2022}(a_{1}+2023r){}}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{} (1+2^{0}+2^{1}{}+ 2^{2} +... + 2^{2022}{})+r(2^{0}1+2^{1}2+2^{2}3+...+2^{2022}2023)}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{}(1 +2^{2022} -1 )+r(2^{0}1+2^{1}2+2^{2}3+...+2^{2022}2023)}{2^{2023}} = a_{2024}{}' [/latex]
Gostaria de saber se há como progredir ou se errei em alguma conta acima! Obrigado!
Seja [latex]a_{1},a_{2},a_{3},... ,a_{2024}[/latex] pequenas esferas condutoras e isoladas que suas cargas formam uma progressão aritmética de razão [latex]r[/latex]. As esferas que, inicialmente estão separadas entre si, são submetidas a contatos sucessivos de modo que [latex]a_{1}[/latex] e [latex]a_{2}[/latex] atinjam seu equilíbrio eletroestático, que se obtém [latex]a_{1}{}' = a_{2}{}'[/latex]. Após isso, [latex]a_{2}{}'[/latex] entra em contato com [latex]a_{3}[/latex] até atingir novamente o equiliíbrio, com [latex]a_{2}{}'' = a_{3}{}'[/latex], repetindo o processo até que [latex]a_{2023}{}'' = a_{2024}{}'[/latex]. Depois, é colocado a esfera [latex]a_{2024}{}'[/latex] de massa igual a [latex]m[/latex], a uma distância [latex]d[/latex] da esfera [latex]a_{1}{}'[/latex]. Essa esfera é liberada, de maneira que se move em relação a [latex]a_{1}{}'[/latex]. Determine a aceleração em [latex]m /s^{2}[/latex] da carga de [latex]a_{2024}{}'[/latex], no instante de sua liberação.
[latex] \frac{a_{1} + a_{2}}{2} = a_{2}{}' \\e\;\ \frac{ a_{2}{}' + a_{3}}{2} = a_{3}{}' \\\frac{ \frac{ a_{1}{} + a_{2}}{2} + a_{3} }{2}= a_{3}{}' \;\ logo: \;\frac{ a_{1}{} + a_{2} +2a_{3}{}}{4} = a_{3}{}' [/latex]
Fazendo a conta, percebe-se que
[latex]\frac{ a_{1}{} + 2^{0}a_{2} +2^{1}a_{3}{}+ 2^{2}a_{4} +2^{3}a_{5} +... + 2^{2022}a_{2024}{}}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{} + 2^{0}(a_{1}+r) +2^{1}(a_{1}+2r){}+ 2^{2}(a_{1}+3r) +... + 2^{2022}(a_{1}+2023r){}}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{} (1+2^{0}+2^{1}{}+ 2^{2} +... + 2^{2022}{})+r(2^{0}1+2^{1}2+2^{2}3+...+2^{2022}2023)}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{}(1 +2^{2022} -1 )+r(2^{0}1+2^{1}2+2^{2}3+...+2^{2022}2023)}{2^{2023}} = a_{2024}{}' [/latex]
Gostaria de saber se há como progredir ou se errei em alguma conta acima! Obrigado!
mdrz1n- Iniciante
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Re: Eletrização
por Elcioschin Qua 06 Mar 2024, 19:03
Bem trabalhoso
Sejam q1, q2, q3, q4, q5, q6 .......... q2023, q2024 as cargas de cada uma
q2 = q1 + r ---> q3 = q1 + 2.r ---> q4 = q1 + 3.r ............ --->
q2023 = q1 + 2022.r ---> q2024 = q1 + 2023.r
q1 com q2 ---> q'1 = q'2 = (q1 + q2)/2 -->q'1 = q'2 = (q1 + q1 + r)/2
q'1 = q'2 = q1 + r/2 ---> I
q'2 com q3 ---> q'3 = (q'2 + q3)/2 --> q'3 = (q1 + r/2 + q1 + 2.r)/2
q'3 = q1 + 5.r/4 ---> II
q'3 com q4 ---> calcule q'4 e veja se descobre a lei de formação
E finalmente calcule q'2024, em função de q1 e r
Calcule a força F entre q'1 e q'2024 ---> F = k.q'1.q'2024/d²
F = m.a ---> a = F/m
Sejam q1, q2, q3, q4, q5, q6 .......... q2023, q2024 as cargas de cada uma
q2 = q1 + r ---> q3 = q1 + 2.r ---> q4 = q1 + 3.r ............ --->
q2023 = q1 + 2022.r ---> q2024 = q1 + 2023.r
q1 com q2 ---> q'1 = q'2 = (q1 + q2)/2 -->q'1 = q'2 = (q1 + q1 + r)/2
q'1 = q'2 = q1 + r/2 ---> I
q'2 com q3 ---> q'3 = (q'2 + q3)/2 --> q'3 = (q1 + r/2 + q1 + 2.r)/2
q'3 = q1 + 5.r/4 ---> II
q'3 com q4 ---> calcule q'4 e veja se descobre a lei de formação
E finalmente calcule q'2024, em função de q1 e r
Calcule a força F entre q'1 e q'2024 ---> F = k.q'1.q'2024/d²
F = m.a ---> a = F/m
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Re: Eletrização
por mdrz1n Qua 06 Mar 2024, 20:01
Mestre, eu entendi o que o senhor escreveu, mas surgiu uma dúvida? Como eu vou achar o valor completo de a2024' ? Eu consegui achar uma lei de formação, mas não consegui fazer nada com isso... [latex]\frac{r}{2}, r + \frac{r}{2^2}, r + \frac{r}{2^3}, r + \frac{r}{2^4},..., r + \frac{r}{2^{2023}}[/latex] para a2', a3',..., a2024'
mdrz1n- Iniciante
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Re: Eletrização
por Elcioschin Qua 06 Mar 2024, 20:30
Existem os dados: a1, r, n = 2024
As respostas terão que ser dadas em função destes dados!
Eu mostrei que a2024 = a1 + 2023.r
Você não pode melhorar o valor de a2024
Vc tem que descobrir a lei de formação, completando meus cálculos.
Assim, esqueça sua solução e continue a minha.
As respostas terão que ser dadas em função destes dados!
Eu mostrei que a2024 = a1 + 2023.r
Você não pode melhorar o valor de a2024
Vc tem que descobrir a lei de formação, completando meus cálculos.
Assim, esqueça sua solução e continue a minha.
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