Área de secção num cubo

por diolinho Qui 25 Jan 2024, 11:36

Na figura abaixo, os pontos M e N são pontos médios de duas arestas do cubo de aresta 2√2, e o ponto H é um dos seus vértices.

Qual a área da seção feita no cubo pelo plano MNH?
A) 4√6
B) 4√2
C) 6√2
D) 9
E) 10

por **Elcioschin** Qui 25 Jan 2024, 16:35

Pçote um sitema xyzO com O o vértice da baseoposto a H

H(2√2, 2√2, 0)

M(0, √2, 2.√2)

N(√2, 2.√2, 2.√2)

Calcule HM, HN e MN

Usando Lei dos cossenos calcule, por exemplo, cos(M^HN) e sen(M^HN)

S = MH.NH.sen(M^HN)/2

por diolinho Qui 25 Jan 2024, 20:36

Elcioschin escreveu:Pçote um sitema xyzO com O o vértice da baseoposto a H

H(2√2, 2√2, 0)

M(0, √2, 2.√2)

N(√2, 2.√2, 2.√2)

Calcule HM, HN e MN

Usando Lei dos cossenos calcule, por exemplo, cos(M^HN) e sen(M^HN)

S = MH.NH.sen(M^HN)/2

Olá!

Acho que errei alguma conta então, porque, nos meus cálculos:
MH = √18 = 3√2
NH = √10
MN = √2 . √2 = 2

2² = (√18)² + (√10)² - 2 . √18 . √10 . cos(MHN)
12√5 . cos(MHN) = 24
cos(MHN) = 24/(12√5) = (2√5)/5

sen(MHN)² = 1 - (4 . 5)/25
sen(MHN)² = 1 - 4/5
sen(MHN)² = 1/5
sen(MHN) = √5/5

S = 1/2 . (3√2 . √10 . √5/5)
S = 1/2 . (3√100)/5
S = 30/10
s = 3

??????

por **Giovana Martins** Qui 25 Jan 2024, 20:59

Cheguei em 3 também.

M é ponto médio de EF e N é ponto médio de DF, logo, MF = NF = √2.

O ∆MNF é retângulo em F tal que, por Pitágoras, MN = 2.

Sendo N o ponto médio de DF, logo, DN = √2. Por sua vez, HD é uma das arestas do cubo tal que HD = 2√2.

O ∆HDN é retângulo em D tal que, por Pitágoras, HN = √10.

Note que m(∠DNF) = 180°, pois se trata de um ângulo raso.

O ∆MNF é isósceles, tal que m(∠MNF) = 45°. Deste modo:

m(∠MND) = m(∠DNF) - m(∠MNF) = 180° - 45° = 135°.

Pela Lei dos Cossenos no ∆MND, tem-se que MD = √2.

Note que o ∆MDH é retângulo em D tal que MH = √10.

Deste modo, descobrimos todos os lados do ∆MNH. O semiperímetro do ∆MNH é dado por p = 1 + √10.

Por Heron:

A² = p(p - MH)(p - MN)(p - NH)

A² = (1 + √10)(1 + √10 - √10)(1 + √10 - √10)(1 + √10 - 2)

A² = (1 + √10)(- 1 + √10)

A = 3

por diolinho Qui 25 Jan 2024, 21:08

Olá Giovana!

Calculamos a área do plano. Mas no enunciado pede "área da seção feita no cubo pelo plano MNH". Não estaria aqui o nosso erro, se é que há algum erro?