sistema decimal de numeração

Certa pessoa escrevendo a sucessão de números naturais não nulos, interrompeu seu trabalho em um certo número. Em que número parou, se até esse número empregou 1506 algarismos?


gabarito: 538

De 1 até 9 ele usa 9 algarismos.
De 10 a 99. Temos 99-10+1 = 90 números de 2 algarismos, logo ele usa 90*2  = 180 algarismos.
De 100 a 999. Temos 999-100+1 = 900 números de 3 algarismos, logo ele usa 900*3 = 2700.

Como ele usou 1506 algarismos, o número que ele parou está entre 100 e 999.

Seja f(x) a quantidade de algarismos utilizados em função de x, onde x é a quantidade de números depois de 99. Temos f(0) = 180+9 = 189. Para cada novo número após 99, adicionamos 3 algarismos. Logo temos f(x) = 189+3x.

Queremos f(x) = 1506 -> 189 +3x = 1506 -> 63 +x = 502 -> x = 439.


Logo ela parou no número 99+439  = 538.