Combinação completa - ITA 2014

por fernandaaaaaaaaaa Ter 05 Set 2023, 14:21

(ITA 2014) Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos de tal maneira que a medida de cada uma de suas arestas seja um número inteiro positivo que não exceda 10.

RESOLUÇÃO:

3= lados do paralelepípedo
10=variação máxima do valor que um lado pode ter

C*10,3=[latex]\binom{12}{3}[/latex]= 12!/3!9! = 220

gab. 220

PERGUNTA:

Como visualizar essa questão pelo modelo da equação linear?

Exemplo: Há 5 sabores de sorvete e é possível pegar 2 sabores: x1+x2+x3+x4+x5=2, onde x=quantidade de cada sabor

por **tales amaral** Ter 05 Set 2023, 14:33

Combinação completa - ITA 2014 2AAAAABJRU5ErkJggg==

3 números determinam um paralelepípedo retângulo. A ordem não importa, pois podemos rotacionar o paralelepipedo. (Ex (a,b,c) = (1,2,3) é o mesmo que (a,b,c) = (3,2,1)).

Temos 3 lados e 10 números para escolher.

[latex]n_1+n_2+n_3+\cdots + n_9+n_{10} = 3[/latex]

Aí usa o método do bola traço que você mencionou.

por fernandaaaaaaaaaa Ter 05 Set 2023, 14:42

tales amaral escreveu:

3 números determinam um paralelepípedo retângulo. A ordem não importa, pois podemos rotacionar o paralelepipedo. (Ex (a,b,c) = (1,2,3) é o mesmo que (a,b,c) = (3,2,1)).

Temos 3 lados e 10 números para escolher.

[latex]n_1+n_2+n_3+\cdots + n_9+n_{10} = 3[/latex]

Aí usa o método do bola traço que você mencionou.

Genial. Obrigada!

por Zeroberto Sáb 18 Nov 2023, 17:04

Pessoal, tentei fazer o seguinte, também utilizando o método bola traço:

\( a \leq 10 \)
\( b \leq 10 \)
\( c \leq 10 \)

\(a + b + c \leq 30 \), então a quantidade máxima de paralelepípedos será:
\( a + b + c = 30 \)

Resolvendo pelo método bola traço, considerando apenas soluções inteiras positivas, chega-se:

\(P_{29} ^{27,2} = 406 \)

Mesmo que resolvendo sem a restrição das soluções inteiras positivas, o resultado não bate:

\(P_{32} ^{30,2} = 496 \)

Poderiam me explicar qual foi o erro do meu raciocínio?

por **tales amaral** Dom 19 Nov 2023, 16:03

Zeroberto escreveu:Pessoal, tentei fazer o seguinte, também utilizando o método bola traço:

\( a \leq 10 \)
\( b \leq 10 \)
\( c \leq 10 \)

\(a + b + c \leq 30 \), então a quantidade máxima de paralelepípedos será:
\( a + b + c = 30 \)

Resolvendo pelo método bola traço, considerando apenas soluções inteiras positivas, chega-se:

\(P_{29} ^{27,2} = 406 \)

Mesmo que resolvendo sem a restrição das soluções inteiras positivas, o resultado não bate:

\(P_{32} ^{30,2} = 496 \)

Poderiam me explicar qual foi o erro do meu raciocínio?

Você conta a solução (28,1,1). Também considera a solução (a,b,c) diferente da solução (b,c,a).

Outra solução:

Soluções da forma (a,a,a): 10.

Soluções da forma (a,a,b): 10*9 = 90.

Soluções da forma (a,b,c)): 10*9*8/3! = 10*12

Somando: 10+90+120 = 220.

por Zeroberto Dom 19 Nov 2023, 17:49

tales amaral escreveu:Você conta a solução (28,1,1). Também considera a solução (a,b,c) diferente da solução (b,c,a).

Outra solução:

Soluções da forma (a,a,a): 10.

Soluções da forma (a,a,b): 10*9 = 90.

Soluções da forma (a,b,c)): 10*9*8/3! = 10*12

Somando: 10+90+120 = 220.

Puxa, é verdade.
Muito obrigado pela ajuda, Tales!

por Gustavo N Ter 19 Mar 2024, 09:16

Por ser um paralelepípedo retângulo e não reto-retângulo ele poderia ser oblíquo correto? Nessa situação a ordem de escolha das medidas das arestas não iria importar? Já que (eu acho) não tem como rotacionar.

por **petras** Ter 19 Mar 2024, 10:17

Gustavo N escreveu:Por ser um paralelepípedo retângulo e não reto-retângulo ele poderia ser oblíquo correto? Nessa situação a ordem de escolha das medidas das arestas não iria importar? Já que (eu acho) não tem como rotacionar.

Paralelepípedo retângulo não é oblíquo. Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares.

por Gustavo N Ter 19 Mar 2024, 10:32

petras escreveu:
Gustavo N escreveu:Por ser um paralelepípedo retângulo e não reto-retângulo ele poderia ser oblíquo correto? Nessa situação a ordem de escolha das medidas das arestas não iria importar? Já que (eu acho) não tem como rotacionar.

Paralelepípedo retângulo não é oblíquo. Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares.

Achei que para um paralelepípedo ser retângulo, somente sua base teria que ser um retângulo. E um reto-retângulo seria esse representado na resolução da questão.