Velocidade rms de um gás; função de distribuição

por Melissa Kelly Sáb 26 Ago 2023, 14:39

Segue o texto da questão:
Um determinado gás tem a seguinte função de distribuição de probabilidade de velocidades: $Velocidade rms de um gás; função de distribuição 058d812b486932f1e36c14965c8c5303$ , onde as velocidades variam entre 0 e 3. Assim, a probabilidade de uma molécula aleatória ter uma velocidade entre $Velocidade rms de um gás; função de distribuição 8bcda5f030288c05bb245be5d42b3c07$ e $Velocidade rms de um gás; função de distribuição 83b0704cb504bd216cd83073df6843c0$ é $Velocidade rms de um gás; função de distribuição 6881fb6cec248b7ab6b5f8d638b8ad98$ . Determine $Velocidade rms de um gás; função de distribuição C662fad32a821d158b1dba7616260112$ e $Velocidade rms de um gás; função de distribuição Cca6beae2e66bceaa4fc9cb6964c635e$ , respectivamente.

Gostaria de uma luz sobre como encontrar V_médiae V_rms com os dados indicados. Grata!

por **Giovana Martins** Sáb 26 Ago 2023, 16:22

Seja X a variável que descreve o evento no qual ocorre de uma molécula aleatória ter uma velocidade entre v₀ e v₀ + dv. Logo:

Velocidade rms de um gás; função de distribuição Oie_t153

[latex]\\\mathrm{P(v_0\leq X\leq v_0+dv)=\int FDP(v)dv=\int P(v)dv=\frac{2}{9}\int_{v_0}^{v_0+dv}\left ( -v^2+3v \right )dv}\\\\ \mathrm{ P(v_0\leq X\leq v_0+dv)=\frac{2}{9}\int_{v_0}^{v_0+dv}\left ( -v^2+3v \right )dv\overset{Numericamente}{=}\acute{A}rea=P(v_0)dv}\\\\ [/latex]

A velocidade média é dada por:

[latex]\\\mathrm{\bar{v}=-\frac{b}{2a}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}\ \therefore\ \bar{v}=1,5\ \frac{m}{s}}[/latex]

Em breve eu tento terminar o cálculo.

Tem o gabarito?

por Melissa Kelly Sáb 26 Ago 2023, 16:34

Boa tarde, Giovana! Consegui resolver a questão. A velocidade média deu 1,5 e a velocidade rms deu 1,64, com a seguinte formulação:

[latex]v^2_{rms} = \int_{0}^{3} v^2 P(v) dv = \int_{0}^{3} v^2 (\frac{1}{4,5}(-v^2+3v))= \frac{1}{4,5}\int_{0}^{3}v^2 (-v^2+3v) \\ v^2_{rms}= \frac{1}{4,5}(\frac{-3^5}{5}+\frac{3.3^4}{4})=2,7\\ v_{rms}=\sqrt{2,7}=1,64[/latex]

Obrigada! Fica a resolução da segunda parte para quem eventualmente se deparar com a mesma dúvida Smile