(IME 1938) Trigonometria

Resolver a equação [latex]cos x + \sqrt{3}sen x = 1[/latex], determinando todas as soluções.

Não consigo resolver agora, mas segue a dica: divida ambos os lados da equação por 2. Lembre-se que cos(pi/3) = 1/2 e sin(pi/3) = V3/2. Depois aplique cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) = cos(x - y).

Aoba!

Completando a solução da Giovana:

[latex]\frac{1}{2}.cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}.senx=\frac{\1 }{2}\\ \\ sen\frac{\pi }{6}.cosx+cos\frac{\pi }{6}.senx=\frac{\1 }{2}[/latex]

[latex]sen(\frac{\pi }{6}+x)=\frac{\1 }{2}[/latex]

[latex]sen(\frac{\pi }{6}+x)=sen\frac{\pi }{6}[/latex]

[latex]\frac{\pi }{6}+x=\frac{\pi }{6}+2k\pi [/latex]

[latex]x=2k\pi [/latex]

[latex]\frac{\pi }{6}+x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \\ \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi [/latex]


Um outro jeito mais mecânico, sem pensar muito, apenas fazendo continhas:

√3.senx=1-cosx
3sen²x=1-2cosx+cos²x
3(1-cos²x)=1-2cosx+cos²x
3-3cos²x=1-2cosx+cos²x -> 4cos²x-2cosx-2=0 -> 2cos²x-cosx-1=0
∆=1-4.2.(-1)=9

[latex]cosx=\frac{1\pm 3}{4}\\ cosx=-0,5\\ cosx=1[/latex]

cosx=-1/2 -> x=2π/3+2kπ;
cosx=1 -> x=2kπ

Muito obrigada!

Muito obrigado!