Coeficientes binomiais
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Coeficientes binomiais
por lokisa Qua 26 Jul 2023, 13:56
No desenvolvimento de [latex](a+x)^n[/latex], o coeficiente binomial do 4° termo é igual ao do 9° termos. A soma dos coeficientes desse binômio é igual a:
a)256
b)512
c)1024
d)2048
e)4096
Gabarito: d
a)256
b)512
c)1024
d)2048
e)4096
Gabarito: d
lokisa- Iniciante
- Mensagens : 9
Data de inscrição : 13/06/2023
Re: Coeficientes binomiais
por Matheus0110 Qua 26 Jul 2023, 15:37
O desenvolvimento do binômio ficará da seguinte forma:
[latex](a+x)^n=\binom{n}{0}a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}\cdot x^1+\binom{n}{2}a^{n-2}\cdot x^2+...+\binom{n}{n}x^n[/latex]
Sabemos que no desenvolvimento, os coeficientes iguais estarão equidistantes da extremidade, sendo assim:
[latex]\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}[/latex]
Como o coeficiente do 4° termo é igual ao do 9° termo, temos:
[latex]\binom{n}{3}=\binom{n}{8}[/latex]
[latex]\binom{n}{3}=\binom{n}{11-3}[/latex]
Assim, n = 11.
Agora que já sabemos o n, devemos somar o coeficiente. Para isso, basta lembrar que a soma dos coeficientes de um binômio é sempre 2^n, onde n é igual ao expoente a que se está elevado o binômio. Sendo assim:
[latex]\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+...+\binom{11}{11}=2^{11}=2048[/latex]
[latex](a+x)^n=\binom{n}{0}a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}\cdot x^1+\binom{n}{2}a^{n-2}\cdot x^2+...+\binom{n}{n}x^n[/latex]
Sabemos que no desenvolvimento, os coeficientes iguais estarão equidistantes da extremidade, sendo assim:
[latex]\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}[/latex]
Como o coeficiente do 4° termo é igual ao do 9° termo, temos:
[latex]\binom{n}{3}=\binom{n}{8}[/latex]
[latex]\binom{n}{3}=\binom{n}{11-3}[/latex]
Assim, n = 11.
Agora que já sabemos o n, devemos somar o coeficiente. Para isso, basta lembrar que a soma dos coeficientes de um binômio é sempre 2^n, onde n é igual ao expoente a que se está elevado o binômio. Sendo assim:
[latex]\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+...+\binom{11}{11}=2^{11}=2048[/latex]
Matheus0110- Recebeu o sabre de luz
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lokisa- Iniciante
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