Dúvida em relação à posição de retas nos quadrantes

É possível demonstrar a quais quadrantes uma dada reta passa sem realizar a construção de seu gráfico ou checar os pontos em que a mesma intersecta os eixos cartesianos?

Lu@r escreveu:É possível demonstrar a quais quadrantes uma dada reta passa sem realizar a construção de seu gráfico ou checar os pontos em que a mesma intersecta os eixos cartesianos?

Perfeitamente possível.

Vamos primeiro considerar os casos em que a reta é paralela a um dos eixos. Neste caso veremos uma eq. do tipo:
1) y = k --> paralela ao eixo x passando pelo 1º e 2º quadrantes
2) y = -k --> também paralela às abscissas mas passando pelos quadrantes 3º e 4º
3) x = n --> paralela a y passando pelos quadrantes 1º e 4º
4) x = -n --> paralela a y passando pelos quadrantes 2º e 3º

Agora vamos abordar os casos das retas inclinadas. Começando pelo mais fácil, sabemos que:
5) y = x --> passa pela origem e está nos quadrantes 1º e 3º
6) y = ax --> declividade "a" mas passa pela origem e quadrantes 1º e 3º. Só mudou a inclinação.
7) y = -x --> passa pela origem e está nos quadrantes 2º e 4º
8)y = -ax --> só mudou a inclinação, passa pela origem e quadrantes 2º e 4º

Considere agora que fazemos y + k (y é qualquer uma das retas de 5 a 8 acima). O efeito prático disto é suspender a reta, jogar a reta para cima; de quanto? do valor de k. A reta continua passanado pela origem mas agora corta o eixo dos y no valor k. Desta forma podemos ter os casos:
9) y = x + k --> quadrantes 1º, 2º e 3º
10) y = ax + k --> igual o (9), só mudou a inclinação.
11) y = -x + k --> quadrantes 2º, 1º e 4º
12) y = -ax + k --> igual anterior (11), só mudou a inclinação.

Mas também pode-se ter  a constante k negativa. Neste caso a reta é jogada para baixo, vai cortar o eixo dos y (ordenadas) num número negativo.
Você já deve ter percebido também que para k < 0: se tivermos +ax, a reta vai cortar o eixo x num valor positivo; e se tivermos -ax a reta corta os x num valor negativo.-
Seriam os casos de 13 a 16 que nem vou fazer porque a esta altura já ficou óbvio.

Entendi mestre, obrigado!
Mas, só um adendo, ao invés de x = n e x = -n serem paralelas ao eixo das abscissas não seriam paralelas ao eixo das ordenadas?
Novamente, agradeço a ajuda!

você tem toda razão. Obrigado por avisar. Vou corrigir o texto da mensagem anterior.