Matemática Financeira

por Cristina Lins Qua 26 Abr 2023, 20:57

Um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 é concedido à taxa de 10% ao ano, a ser reembolsado em 5 anos de acordo com o SAC. Determine o valor total do financiamento.

por luciano_rael Qua 26 Abr 2023, 21:09

Cristina Lins escreveu:Um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 é concedido à taxa de 10% ao ano, a ser reembolsado em 5 anos de acordo com o SAC. Determine o valor total do financiamento.

Total: Capital + Juros
Capital = 2000
Juros = C . i(taxa) . t(tempo) ---> 2000 . 0,1 . 5 = 1000

Total: 2000 + 1000 = 3000
Se eu errei alguma coisa me avise

por Cristina Lins Qui 27 Abr 2023, 14:06

Oi Luciano, boa tarde
Eu fiz assim, mas a resposta do problema, está R$ 2600,00.

por **Giovana Martins** Sex 28 Abr 2023, 09:35

No Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome já indica, as amortizações são constantes de tal que o seu valor é dado por:

[latex]\\\mathrm{A=\frac{E}{n}=\frac{2000}{5}=R\$\ 400,00}[/latex]

Sendo:

A: amortização;
E: empréstimo;
n: número de parcelas.

Início (t = 0):

SDinicial = 0
Amortização (A) = 0
Juros (J) = 0;
Prestação (P) = 0;
SDfinal = E = R$ 2.000,00.

Decorrido 1 ano (t = 1):

SDinicial = SDfinal (t = 0) = R$ 2.000,00
A = R$ 400,00
J = 0,1 x 2000 = R$ 200,00 (J = i x SDinicial)
P = 400 + 200 = R$ 600,00 (P = A + J)
SDfinal = 2000 - 400 = R$ 1.600,00 (SDfinal = SDinicial - A)

Decorrido 2 anos (t = 2):

SDinicial = SDfinal (t = 1) = R$ 1.600,00
A = R$ 400,00
J = 0,1 x 1600 = R$ 160,00
P = 400 + 160 = R$ 560,00
SDfinal = 1600 - 400 = R$ 1.200,00

Decorrido 3 anos (t = 3):

SDinicial = SDfinal (t = 2) = R$ 1.200,00
A = R$ 400,00
J = 0,1 x 1200 = R$ 120,00
P = 400 + 120 = R$ 520,00
SDfinal = 1200 - 400 = R$ 800,00

Decorrido 4 anos (t = 4):

SDinicial = SDfinal (t = 3) = R$ 800,00
A = R$ 400,00
J = 0,1 x 800 = R$ 80,00
P = 400 + 80 = R$ 480,00
SDfinal = 800 - 400 = R$ 400,00

Decorrido 5 anos (t = 5):

SDinicial = SDfinal (t = 4) = R$ 400,00
A = R$ 400,00
J = 0,1 x 400 = R$ 40,00
P = 400 + 40 = R$ 440,00
SDfinal = 400 - 400 = R$ 0,00

Valor total do financiamento = ∑Prestações = 600 + 560 + 520 + 480 + 440 = R$ 2.600,00

Penso que seja isto. Se houver dúvidas, avise.

A propósito, pelas regras do fórum os gabaritos devem ser postados junto às questões caso você os conheça.

por **Giovana Martins** Sex 28 Abr 2023, 09:50

Um outro jeito de fazer:

No SAC os juros decrescem em progressão aritmética cuja razão é dada por r = - i x A = - 0,1 x 400 = - 40. Daí tem-se:

Início (t = 0):

SDinicial = 0
Amortização (A) = 0
Juros (J) = 0;
Prestação (P) = 0;
SDfinal = E = R$ 2.000,00.

Decorrido 1 ano (t = 1):

SDinicial = SDfinal (t = 0) = R$ 2.000,00
A = R$ 400,00
J = 0,1 x 2000 = R$ 200,00 (J = i x SDinicial)
P = 400 + 200 = R$ 600,00 (P = A + J)
SDfinal = 2000 - 400 = R$ 1.600,00 (SDfinal = SDinicial - A)

Note que P1 = R$ 600,00. Utilizando-se dos conceitos das progressões aritméticas, tem-se:

P5 = P1 + (n - 1) x r = 600 + (5 - 1) x (- 40) = R$ 440,00

Financiamento = P1 + P2 + ... + P5 = soma dos 5 primeiros termos da P.A..

Financiamento = [(P1 + P5) x n]/2 = [(600 + 440) x 5]/2 = R$ 2.600,00

Note que esse jeito é bem mais interessante de resolver o problema, pois se estivéssemos lidando com, sei lá, uma amortização de 60 anos, não daria para calcular na "mão" igual eu fiz no post anterior.

por Cristina Lins Sex 28 Abr 2023, 13:26

Boa Tarde
Muito obrigada pela ajuda. Valeu!!!!!!

por **Elcioschin** Sex 28 Abr 2023, 13:43

Cristina Lins

Você não respeitou a Regra XI nesta questão: sabia o gabarito e não postou, junto com o enunciado.

Por favor, leia/siga todas as Regras nas próximas postagens

por **Baltuilhe** Sáb 29 Abr 2023, 15:13

Boa tarde!

Há uma outra forma de obtermos os juros totais de um empréstimo realizado pelo SAC.
Não deixa de ser similar ao que a Giovana já mostrou, mas só para mostrar um raciocínio diferente para obter o mesmo.
Vamos lá.

1) SAC é sistema de amortizações constantes, ou seja, período a período a dívida (saldo devedor) diminui de um mesmo valor, chamado de amortização.
2) A amortização é calculada por [latex]A=\dfrac{SD}{n}[latex]
3) O saldo devedor é subtraído, período a período, pelo valor da amortização. Então, o saldo devedor segue uma P.A, de razão amortização (negativa);
4) Os juros sempre são calculados período a periodo sobre o saldo devedor anterior. Como o saldo devedor é uma P.A., os juros também seguirão a mesma formação, já que os juros são o saldo devedor multiplicado por um valor (taxa de juros)
5) A primeira parcela de juros é calculada sobre o saldo devedor total e a última parcela de juros sobre o saldo devedor no período anterior ao último.
6) Juros Iniciais: [latex]J_1=i\cdot SD_0[latex]
7) Juros finais: [latex]J_n=i\cdot SD_{n-1}=i\cdot A[latex], pois a última parcela irá descontar o penúltimo saldo devedor, que é o valor da amortização.
Cool

Total de Juros é a soma de uma P.A.:
[latex]J=\dfrac{(J_1+J_n)n}{2}=\dfrac{(i\cdot SD+i\cdot A)n}{2}[latex]
[latex]J=\dfrac{\left(i\cdot SD+i\cdot\dfrac{SD}{n}\right)\cdot n}{2}=\dfrac{i\cdot SD\cdot (n+1)}{2}[latex]
9) O total pago será a soma do saldo devedor acrescido do total de juros. Calculando:
[latex]J=\dfrac{10\%\cdot 2\,000\cdot(5+1)}{2}=\dfrac{200\cdot 6}{2}=600[latex]

[latex]TP=SD+J=2\,000+600=2\,600[latex]

Espero ter contribuído!
Amplexos!