Indução Matemática

para n = 100, temos:

(100)^10 = 10^20

Como 10<16 = 2^4 temos 10^20 < 16^20 = 2^80.

Como 2^80 < 2^100, temos 10^20 < 2^100.

Vale para n = 100.

Supondo que vale para n = k (k>=100), ou seja     [latex]k^{10} < 2^{k}[/latex].


Agora queremos chegar em     [latex](k+1)^{10} < 2^{k+1}[/latex].

Primeiro veja que     [latex](k+1)^{10} = k^{10} +10k^9+45k^8+120k^7+\cdots+10k+1[/latex].


Da hipótese de indução [latex]k^{10} < 2^{k} \iff 2k^{10} < 2^{k+1} \iff k^{10}+k^{10} < 2^{k+1}[/latex].



Como k>=100, temos:

    [latex]\begin{align*} 2^{k+1} &> k^{10}+k^{10}\\ &= k^{10}+k\cdot k^9\\ &\geq k^{10}+100k^9\\ &= k^{10}+10k^9+90k^9\\ &\geq k^{10}+10k^9+900k^8 \\ &= k^{10}+10k^9+45k^8+855k^8\\ &\cdots\\ &\geq (k+1)^{10} \end{align*}[/latex]

Eu botei 3 pontos mas você está mais do que livre para desenvolver o resto do passo a passo XD.