complexos

Resolva o sistema de equações a seguir, em que z e w são complexos.

zi + (1+i)w=1
(1+i)z* - (6+i)w* = -4-8i

* sinaliza o conjugado do complexo

resposta:
S = {(i, 1-i)}

Vc pode substituir z e w por a+bi e c+di, e transformar em um sistema 4 por 4. Daí é só resolver. Outra possibilidade é tomar o conjugado da segunda equação:

\( \left\{ \begin{array}{l}
zi  + (1+i) w = 1 \\
(1-i)z + (-6+i)w = -4 +8i 
\end{array} \right.\)

Como não há mais conjugados, podemos resolver como um sistema comum, nas variáveis z,w. Vou usar o método da adição, mas antes de empregá-lo, adicionaremos a primeira equação na segunda. Daí o sistema fica


\( \left\{ \begin{array}{l}
zi  + (1+i) w = 1 \\
z + (-5+2i)w = -3 +8i \end{array} \right.\)

Agora multiplicamos a primeira equação por i:

\( \left\{ \begin{array}{l}
-z  + (i -1) w = i \\
z + (-5+2i)w = -3 +8i \end{array} \right.\)

Somando as duas equaçõs teremos

\( -6 + 3i)w = -3 + 9i \implies w = \dfrac{-3 + 9i}{-6+3i} \implies \boxed{w  = 1-i}\)

Agora que temos w basta substituir em alguma das equações para encontrar z:

\(z + (-5+2i)(1-i) =-3+8i \implies \boxed{z = i}\)