De quantas maneiras distintas pode-se obter

por andre.pina Qui 23 Mar 2023, 11:14

Considere um polígono convexo com 12 lados. Suponha que, quando todas as diagonais são traçadas, não há mais que duas delas se intersectando no mesmo ponto. De quantas maneiras distindas pode-se obter um ponto no interior desse poligono com a intersecção de duas de suas diagonais?
a) 525 b) 495 c) 465 d) 435 e) 405

ñ tenho resposta.

por DaoSeek Sáb 25 Mar 2023, 19:33

Repare que pra cada 4 vértices distintos escolhidos, digamos A,B,C,D existem vários pares possiveis de diagonais para se formar:
AB e CD
AC e BD
AD e BC

Apenas um desses pares se intersecta (pois o quadriltero convexo com vertices A,B,C,D é tal que dois dos pares acima são seus lados e o outro par restante são suas diagonais). Assim, pra cada 4-upla de vertices escolhidos existe um único ponto procurado. Portanto a resposta será o número de maneiras que podemos escolher 4 vértices dentre os 12 possíveis. Isto é:

\( \displaystyle \binom {12}4 = \dfrac{12!}{4!8!} = 495\)

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