Expressão Algébrica

 Olá, amigos! Gostaria de receber uma possível solução para o exercício acima.

Gab: 373

Fatorando 324  obtemos 324 = 2².3⁴. Observando a expressão dada é razoavel considerar o polinomio x⁴ + 4y⁴. Fatorando obtemos

\(x^4 + 4y^4 = x^2 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2 y^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - 4x^2y^2 \implies \)

\(x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2 - 2xy)(x^2 + 2y^2 + 2xy) \implies \)

\(x^4 + 4y^4 = ((x-y)^2 + y^2) ((x+y)^2 + y^2)\)

Em particular, para y = 3 temos

\(x^4 + 324 = ((x-3)^2 + 9)((x+3)^2 + 9)\)

Sendo f(x) = x² + 9, a partir da fatoração acima conseguimos escrever a expressão dada como:

\( \dfrac{ f(7) f(13) f(19)f(25) f(33) f(37) f(43)f(49)f(55) f(61)}{ f(1) f(7) f(13)f(19)f(25) f(33) f(37) f(43)f(49)f(55)} = \dfrac{f(61)}{f(1)}\)

Portanto a resposta será:

\( \dfrac{61^2 + 9}{1^2 + 9} = 373\)