Outro problema com simplificação de expressões

por CoffeeVortex Seg 20 Mar 2023, 09:44

Sabendo que x, y e z são reais positivos tais que xyz = 1, determine o valor de
[latex](x + 1)/(xy + x + 1) + (y + 1)/(yz + y + 1) + (z + 1)/(zx + z + 1) [/latex]
a)1
b)1/3
c)2/3
d) 2
e) 3

por DaoSeek Seg 20 Mar 2023, 10:09

CoffeeVortex escreveu:Sabendo que x, y e z são reais positivos tais que xyz = 1, determine o valor de
[latex](x + 1)/(xy + x + 1) + (y + 1)/(yz + y + 1) + (z + 1)/(zx + z + 1) [/latex]
a)1
b)1/3
c)2/3
d) 2
e) 3

Observamos que

\( zx+z+1 = zx+z+xyz = z(xy +x+1)\)

\(yz+y+1 = yz+y+xyz = y (zx+z+1) = yz(xy+x+1)\)

Logo:

\( E= \dfrac{x+1}{xy+x+1} + \dfrac{y+1}{yz+y+1} + \dfrac{z+1}{zx+z+1} \implies \)

\( E = \dfrac{x+1 + \dfrac{y+1}{yz} + \dfrac{z+1}{z} }{xy+x+1} \implies\)

\( E = \dfrac{x+1 + x(y+1)+ {xy(z+1)} }{xy+x+1} \implies\)

\( E = \dfrac{x+1 +xy + x + xyz + xy}{xy+x+1} = \dfrac{2(xy+x+1)}{xy+x+1} \implies \boxed{ E = 2}\)

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