Questão FGV - Matemática financeira

Um bem custa, à vista, R$ 1.230,00, mas pode ser adquirido por meio de parcelamento em duas prestações mensais, iguais e consecutivas. Há apenas duas opções para o parcelamento:
I. a primeira prestação é paga no ato da compra; 
II. a primeira prestação é paga um mês após a compra.
Em ambos os casos, o vendedor cobra juros de 5% a.m. Sejam PI e PII ,respectivamente, os valores das prestações na 1ª e 2ª opções de parcelamento.
O valor PII – PI é
(a)  R$ 31,50. (B) R$ 32,00. (C) R$ 32,20. (D) R$ 32,50. (E) R$ 33,00. 

Gabarito letra (a)

Eu fiz da seguinte maneira
(I) No ato da compra

[latex]m = 1230(1,05\cdot1) = 1291,50[/latex]
 
portanto cada parcela será [latex]\frac{1291,5}{2} = 645,75[/latex]


(II)  primeira parcela 1 mes apos a compra


[latex]m = 1230(1,05\cdot2) =1353[/latex]

portanto cada parcela será


[latex]\frac{1353}{2} = 676,50[/latex]



logo a diferença entre PII - PI = 676,50 -645,75 = 30,75.


Mestres meu raciocínio está correto ou estou equivocado?

Bom dia!

Uma forma de se fazer:
I) Primeira prestação paga no ato da compra.
X = Prestação
Vamos calcular o valor da prestação de entrada no primeiro período, e somar com a segunda prestação.
[latex]X(1+5\%)+X=1230(1+5\%)[latex]
[latex]1,05X+X=1230(1,05)[latex]
[latex]X=\dfrac{1230\cdot 1,05}{2,05}[latex]
[latex]X=630[latex]

II) Primeira prestação no fim do 1o. mês:
X = Prestação
Vamos calcular o valor da prestação no final do 2o. período, e somar com a segunda prestação.
[latex]X(1+5\%)+X=1230(1+5\%)^2[latex]
[latex]1,05X+X=1230(1,05)^2[latex]
[latex]X=\dfrac{1230\cdot 1,05^2}{2,05}[latex]
[latex]X=661,50[latex]

Diferença:
[latex]661,50-630=31,50[latex]

Espero ter ajudado!

Amigo obrigado, o senhor poderia dizer qual foi meu equívoco em minha resolução? Na minha cabeça a maneira que eu havia resolvido estava correta.

Seu erro foi vc levar o valor atual para o futuro; o correto é trazer, cada parcela P, do futuro para a data da compra.

Em cada um dos casos você tem que trazer cada parcela posterior (30 dias no 1º caso e 30 dias + 60 dias, no segundo caso, para a data da compra)

1º caso: na data da compra P e 30 dias após P

Trazendo a parcela de 30 dias para a dada da compra: P/1,05

P + P/1,05 = 1.230,00 ---> 2,05.P/1,05 = 1.230,00 ---> P = 630,00

2º caso: 30 dias após P e 60 dias após P

Trazendo a parcela de 30 dias para a dada da compra: P/1,05

Trazendo a parcela de 60 dias para a dada da compra: P/1,05²

P/1,05 + P/1,05² = 1.230,00 ---> 2,05.P/1,05² = 1.230,00 = 661,50

661,50 - 630,00 = 31,50