Pontos Notáveis do Triângulo

Demonstrar que a soma das distâncias dos três vértices de um triângulo a uma reta qualquer (externa ao triângulo) é igual a três vezes a distância da mesma reta ao baricentro do triângulo considerado

Seja ABC o triangulo, G seu baricentro e r a reta em questão. Assumimos que r não é paralela a nenhum dos lados do triangulo (o caso contrário é mais simples e não vou fazer). Sem perda de generalidade digamos que B é o vértice mais próximo de r e A o mais distante. Sejam R_A, R_B, R_C, R_G as projeções de A,B,C, G sobre r. Considere retas paralelas s,t passando por B e pelo ponto médio M de BC. Tais retas encontram os segmentos AR_A, CR_C, GR_C nos pontos S_AR, S_C, S_G, T_A, T_C, T_G conforme a figura.

Sejam
x = S_AR_A = S_CR_C = S_GR_G = BR_B  (em azul)
y = T_AS_A = T_GS_G = T_CS_C               (em vermelho)

z = GT_G                                            (em verde)

Como M é ponto médio de BC, por semelhança temos CS_C = y. Como G é baricentro, por semelhança (A,G,M são colineares) temos AT_A = 3z. Logo:

AR_A + BR_B + CR_C = (3z+y+x) + x + (x + 2y) = 3(x+y+z) = 3GR_G

como queríamos mostrar