IIT/JEE - Elasticidade

Uma mola sem massa, com constante elástica [latex]K[/latex] e comprimento [latex]L_{0}[/latex] está pendurada no teto. Um inseto de massa  [latex]m[/latex] está se segurando na extremidade inferior da mola e o sistema está em equilíbrio. O inseto começa a escalar lentamente a mola para comer um bicho. Assuma que o inseto escale sem escorregar na mola e que [latex]K = \frac{mg}{L_{0}}[/latex]. Dê o tamanho da corda quando o inseto estiver a [latex]\frac{1}{4}[/latex] da distância original entre ele e o bloco.

Gabarito:

Utilizarei a teoria de corte de molas. Se uma mola de constante elástica \( K\) e de comprimento natural \( L_0\) é cortada de modo que um pedaço passe a ter um comprimento natural de \( L_0/n \), a nova constante elástica do pedaço cortado é \( nK\). Ou, de forma equivalente, a constante elástica de uma mola é inversamente proporcional ao seu comprimento natural.

Situação inicial de equilíbrio (inseto repousa na extremidade inferior da mola):
\[
x = \frac{mg}{K} = L_0
\]
Sendo assim, o inseto se encontra a uma distância de \( 2L_0\) do teto.

Para a situação de equilíbrio do inseto a uma distância de \( 1/4 \cdot 2L_0 = L_0 / 2\), devemos entender que a parcela inferior da mola ao inseto encontra-se relaxada. Vamos determinar o comprimento natural da parcela superior (\(L_0' \)) ao inseto cuja constante elástica é \( K'\):
\[
{\color{blue}{mg }}= K' \left( \frac{L_0}{2} - L_0' \right) \quad \text{e} \quad K' = K \cdot \frac{ L_0}{L_0'} \implies {\color{blue}{KL_0 }} = K \cdot \frac{L_0}{L_0'} \left( \frac{L_0}{2} - L_0' \right)\Leftrightarrow L_0' = \frac{L_0}{4}
\]
Assim, a constante elástica da parcela superior é \( K' = 4K \). Como as parcelas inferior e superior da mola estão associadas em série, calculamos a constante elástica da parcela inferior sendo \(X\) por meio do produto dividido pela soma:
\[
\frac{ X \cdot K'}{X + K'} =\frac{ X \cdot 4K }{ X + 4K } = K \Leftrightarrow X = \frac{4K}{3}
\]
Logo, o comprimento natural da parcela inferior da mola é \( X_0 = \frac{3L_0}{4} \), uma vez que ela se encontra relaxada.

Sendo assim o comprimento da mola, após o inseto distar de \( 1/4\) da distância inicial ao teto, é
\[
C = \frac{L_0}{2} + \frac{3L_0}{4} = \frac{5L_0}{4}
\]

Muito obrigado, @al171! Que Deus lhe abençoe!