questão de geometria

A tangente interna comum aos círculos cujos raios são R e r intercepta suas tangentes externas comuns nos pontos A e B e é tangente a um dos círculos no ponto C. Prove que [latex]\overline{AC}.\overline{CB}=r.R[/latex].

Na figura, considere x = AQ  (em vermelho), y = AP (azul) e d a distancia entre os centros das circunferencias (em verde).




Por pitágoras temos:

\( PQ^2 + (R-r)^2 = d^2 \implies \boxed{ (x+y)^2 + (R-r)^2 = d^2}\)

\(CD^2 + (R+r)^2 = d^2 \implies \boxed{(x-y)^2  + (R - 2)^2 = d^2}\)

Somando essas duas equações obteremos:

\( (x^2 + R^2) + (y^2 + r^2)  = d^2 \implies  AS^2 + AO^2  = OS^2\)

Ou seja, o triangulo AOS é retangulo. Disso segue que os triangulos POA e QAS são semelhantes:

\( \dfrac{PO}{PA} = \dfrac{QA}{QS} \implies \dfrac{r}{y} = \dfrac xR \implies xy = Rr\)

Para concluir vamos mostrar que AD  = BC. De fato, sendo x' = BD e y' = BC, segue que

\( \left\{\begin{array}{l}
x' - y' = CD = x - y \\
x' + y' = P'Q' = PQ = x+ y
\end{array} \right. \implies  \boxed{ \begin{array}{l}
x = x' \\
y = y'
\end{array} }\)

Logo temos BC =  y e AC = x:

\(xy = Rr \implies \boxed{AC \cdot BC = Rr} \)