Trigonometria do triângulo retângulo

Na figura, o ângulo ADB é reto, BÂC e CÂD medem
alfa e beta, respectivamente, AC= 4 dm e BC= 1 dm.
Sabendo que cos(alfa+beta)=4/5, determine sen(alfa).


Obs.: No material didático que utilizo essa questão aparece num capítulo sobre adição de arcos, antes da introdução lei dos senos. Portanto, minha dúvida é se há como resolvê-la sem utilizar lei dos senos.

luankassio escreveu:Na figura, o ângulo ADB é reto, BÂC e CÂD medem
alfa e beta, respectivamente, AC= 4 dm e BC= 1 dm.
Sabendo que cos(alfa+beta)=4/5, determine sen(alfa).


Obs.: No material didático que utilizo essa questão aparece num capítulo sobre adição de arcos, antes da introdução lei dos senos. Portanto, minha dúvida é se há como resolvê-la sem utilizar lei dos senos.

Eai mano, tranquilo? Olhe para o cos(a+b)= 4/5, quando ele te der algo nesse gênero vc já tem que pensar no triângulo retângulo em que seus lados são 3k,4k e 5k, em que k é uma constante que os multiplica. Com isso você já sabe que o sen(a+b)= 3/5, logo se eu chamar CD de X e DA de Y, ficará sen(a+b)=(1+x)/h= 3/5 e cos(a+b)=y/h= 4/5, em que h é a hipotenusa, isolando h/5 em ambas ficará (1+x)/3= h/5 e y/4=h/5, consequentemente posso igualar==> (1+x)/3= y/4, resolvendo a iguadade fica 3y-4x= 4, tendo em mente que é um triângulo 3,4,5 vc acha que y=4 e x=2, logo h=5. Achando h vc aplica a lei dos cossenos no triângulo ABC para achar o cos(a), com ele você joga na relação fundamental, sen²+cos²=1, para achar o sen.

Tudo tranquilo, mano. Mas fiquei com uma dúvida. Se DA for igual a 4, o triângulo ACD não pode ser retângulo como afigura mostra, já que a hipotenusa dele também vale 4. Então não faz sentido essa medida. Entendi errado?

luankassio escreveu:Tudo tranquilo, mano. Mas fiquei com uma dúvida. Se DA for igual a 4, o triângulo ACD não pode ser retângulo como afigura mostra, já que a hipotenusa dele também vale 4. Então não faz sentido essa medida. Entendi errado?

Ih mano, foi mal, nem reparei, você tá certo. Vou refazer aqui

Enfim consegui mano  kkkkk, o sen é algo bonito, mas o processo não. Primeiro fiz por lei dos senos só pra ter uma noção da resposta e deu 1/5 (ou 0,2), depois eu apliquei pitágoras no triângulo ABD e ficou (x+1)²+y²=h² ==> x²+2x+1+y²=h², porém pelo triângulo ACD a gente tem que x²+y²=16, substituindo na outra fica 17+2x=h², isolando x fica x= (h²-17)/2, porém lá em cima eu falei que 3/5= (1+x)/h, substituindo x, 3/5= [1+(h²-17)/2]/h, resolvendo fica 5h²-6h-75=0, o resultado é algo feio, mas se vc aproximar dá h=4,5. Como falei, com o h nós faremos a lei dos cossenos==> 1= 16+ 20,25-36cos(a), então cos= 0,98 (aqui também tem que aproximar), agora jogamos na relação fundamental, sen²=1- (0,98)², aqui acha sen²(a)=0,04 então o sen(a)= 0,2. Eu não fiz aproximações e trabalhei com números "estranhos" e as vezes não chegava perto. Espero ter ajudado.

Um caminho alternativo:

senβ = y/4 ---> cosβ = x/4

Se você traçar uma paralela à base AD passando por C, vai encontrar os triângulos APC e PBC da figura acima. 

Pela relação fundamental: sen (a+b) = 3/5.
A partir daí você calcula  PB =5/3 e PC = 4/3
Depois basta aplicar a lei dos senos no triângulo APC, no caso 4/3 /sen a = 4/  3/5. Logo sen a = 1/5