Álgebra básica e resolução de equações

É dada a seguinte do 2° grau:
[latex]x^{2} + (m + 1)x + (2m - 1) = 0[/latex]
(a) Qual é a condição que o discriminante dessa equação deve satisfazer para que
suas raízes sejam inteiros quando m é inteiro.
(b) Mostre que m = 1 e m = 5 são os únicos valores inteiros possíveis de m, para que
as raízes da equação sejam inteiros.

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (m + 1)² - 4.1.(2.m - 1)

∆ = m² - 6.m + 5 ----> ∆ = (m - 1).(m - 5)

a) Devemos ter ∆ ≥ 0 ---> m < 1 ou m > 5 (Parábola com concavidade voltada para cima)

Complete

Como assim "Complete"?
(A alternativa (a) eu tinha conseguido desenvolver ok, mas essa (b) ae me deixou em dúvida.)

\[
\begin{align*}
x^2 + (m+1)x + (2m-1) & = \left( x + \frac{m+1}{2} \right)^2 + (2m-1) - \frac{(m+1)^2}{4} \\
& = \left( x + \frac{m+1}{2} \right)^2 + \frac{ 8m - 4 - m^2 - 2m - 1}{4} \\
& = \left( x + \frac{m+1}{2} \right)^2 - \frac{m^2 -6m + 5 }{4}
\end{align*}
\]
Perceba que as raízes são:
\[
x_1 = \sqrt{ \frac{ m^2 -6m + 5 }{4} } - \frac{m+1}{2} \quad \text{e} \quad x_2 = -\sqrt{ \frac{ m^2 -6m + 5 }{4} } - \frac{m+1}{2}
\]
Em princípio, para que as raízes do polinômio de segundo grau acima sejam inteiras, é necessário que o coeficiente independente seja um quadrado perfeito. Logo,
\[
\frac{ m^2 - 6m + 5}{4} = \frac{(m-1)(m-5)}{4} = q^2.
\]
Contudo, a única possibilidade de quadrado perfeito é \( q = 0\). O numerador só é quadrado perfeito, se for nulo, ou seja, se \( m =1 \) ou \( m = 5\).

Por que \( q = 0\) garante, em princípio, que as raízes serão inteiras? Por conta da diferença de quadrados presente em
\[
\left( x + \frac{m+1}{2} \right)^2 - \frac{m^2 -6m + 5 }{4} .
\]
O coeficiente independente não sendo um quadrado perfeito, obtêm-se raízes radicais (não inteiras).

Perfeitíssimo, entendi agora.
Muito obrigado, camarada!!!