Álgebra Básica

Se m e n são naturais tais que 



Determine o valor de m + n.




Gabarito: 16
Obs.: Eu sempre quase chego na resposta, porém fica "mn" como incógnita a mais, não sei como sumir com ela. 

Não sei se atende:

..... m + n ........... 4.4
------------------ = ------
m² + m.n + n² .... 4.49

..... m + n ........... 16
------------------ = ------
m² + m.n + n² .... 196

Para m + n = 16 ---> n = 16 - m

m² + m.n + n² = 196 ---> m² + m.(16 - m) + (16 - m)² = 196 --->

m² + 16.m - m² + 256 - 32.m + m² = 196 ---> m² - 16.m + 60 = 0 ---> m = 10 e m = 6

Para m = 10 ---> n = 6 e para m = 6 ---> n = 10 ---> Logo m + n = 16

Obrigada, Elcioschin!

Sendo m,n naturais, então existe um número inteiro k > 0 tal que

\(\displaystyle
\begin{array}{l}
m+n = 4k\\
m^2 + mn + n^2 = 49 k
\end{array} \)

Resolvendo esse sistema em função de k obtemos

\(\displaystyle
\left\{\begin{array}{l}
m = 2k + \sqrt{49k - 12k^2}\\
n = 2k - \sqrt{49k - 12k^2}
\end{array} \right. \)   ou  \(\displaystyle
\left\{\begin{array}{l}
m = 2k - \sqrt{49k - 12k^2}\\
n = 2k + \sqrt{49k - 12k^2}
\end{array} \right. \)

Como procuramos m,n naturais, temos as seguintes condições sobre k:

\( 49k - 12 k^2 \geq 0 \) para que a raiz seja um número real. Como k é inteiro e positivo, isso implica que \(  k \leq 4\)

\( 2k  \geq \sqrt{ 49k - 12k^2} \) para que as soluções não sejam negativas. Isso implica que \(4k^2 \geq 49k-12k^2\). Sendo k inteiro positivo, devemos ter \(k  \geq 4\).

Daí a única possibilidade é k = 4. Como m+n = 4k, concluímos que m+n = 16