Hexágono inscrito e circunscrito na circunferência

Uma figura plana é formada através do seguinte procedimento:
• Desenha-se um primeiro círculo de raio 2 m.
• Inscreve-se nesse primeiro círculo um primeiro hexágono regular.
• Nesse hexágono regular, inscreve-se um segundo círculo.
• Nesse segundo círculo, inscreve-se um segundo hexágono regular.
• Esse processo é repetido indefinidamente.

A soma das áreas dos quatro primeiros círculos dessa figura plana, em m², é da forma
aπ/b,com a e b positivos e primos entre si. A soma dos algarismos de a+b² é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10

Gabarito: b) 8

pferreira.tsl escreveu:Uma figura plana é formada através do seguinte procedimento:
• Desenha-se um primeiro círculo de raio 2 m.
• Inscreve-se nesse primeiro círculo um primeiro hexágono regular.
• Nesse hexágono regular, inscreve-se um segundo círculo.
• Nesse segundo círculo, inscreve-se um segundo hexágono regular.
• Esse processo é repetido indefinidamente.

A soma das áreas dos quatro primeiros círculos dessa figura plana, em m², é da forma
aπ/b,com a e b positivos e primos entre si. A soma dos algarismos de a+b² é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10

Gabarito: b) 8

O apótemata do hexágono externo será o raio do cículo seguinte portanto

[latex]\\S_0=\pi.2^2 = 4\pi\\ a_o = \frac{l\sqrt{3}}{2}=2.\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3=r_1=l_1\\ S_1 = \pi.\sqrt3^2 = 3\pi\\ a_1 = \frac{\sqrt3.\sqrt3}{2}=\frac{3}{2} = r_2=l_2\\ S_2=\pi.(\frac{3}{2})^2=\frac{9\pi}{4} = r_3=l_3\\ a_2=\frac{3}{2}\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}=r_4=l_4\\ S_3=\pi.(\frac{3\sqrt3}{4})~2=\frac{27\pi}{16}\\ S_o+S_1+S_2+S_3 = 4\pi+3\pi+\frac{9\pi}{4}+\frac{27 \pi}{16} = \frac{175\pi}{16}\\ \therefore 175+16^2=175+256 = 431\implies 4+3+1 = \boxed{8}[/latex]