Circunferência - Posição Relativa

por taynaravidi Sex 02 Set 2022, 16:24

Boa tarde forúm!

Questão é o seguinte: A reta tangente, no ponto P, à circunferência de centro na origem e raio 3 é paralela à reta r : y = −2x + 1. Quais são as coordenadas de P?

Ai o que eu deduzi com a pergunta é:

eq. circunferência: x²+y²=9

Com a eq. da reta r: y=-2x+1 sendo paralela a reta s, conclui-se que Mr=Ms, ai fica a eq. da reta s: y=-2x+N.

O problema é que eu nao sei o que fazer para achar o N, e dar prosseguimento ao sistema de eq da circunferencia e da reta s pra achar os pontos de P=(x,y). Alguém tem alguma solução?

por **tales amaral** Sex 02 Set 2022, 18:26

Você sabe que o sistema [latex] \begin{cases} y = N-2x \\ x^2+y^2 = 9 \end{cases}[/latex] possui apenas uma solução. Substitua o y na segunda equação e ache o valor de N (delta deve ser igual a zero para ter solução única).

por taynaravidi Sáb 03 Set 2022, 13:53

Mas ai vai dar essa equação: 5x²+N²-4Nx=9, não tem o que fazer com isso, nao tem como achar o N. Ainda nao encontrei a solução.

por **tales amaral** Sáb 03 Set 2022, 15:59

taynaravidi escreveu:Mas ai vai dar essa equação: 5x²+N²-4Nx=9, não tem o que fazer com isso, nao tem como achar o N. Ainda nao encontrei a solução.

[latex] 5x^2+N^2-4Nx=9 \iff 5x^2-4Nx+\left(N^2-9\right)=0[/latex].

A reta é tangente -> Só toca em um ponto -> Sistema só tem uma solução.
Para ter solução única, o discriminante deve ser igual a zero (propriedade da equação do segundo grau):

[latex] \Delta = 0 \iff \left(-4N\right)^2 -4\cdot 5\cdot\left(N^2-9\right) = 0 \iff N^2 =5\cdot9 \iff N = \pm 3\sqrt{5}[/latex]

Circunferência - Posição Relativa IVwRdIcp9GwAAAAASUVORK5CYII=