Funções

A trajetória de um voo espacial comercial pode ser modelada por meio da função h(x) = ax2 + bx + c, em que h representa a altura da cápsula em função da distância horizontal x, em quilômetros, a partir do local do lançamento. 

Considerando que a cápsula foi lançada a partir da origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, ao nível do mar, que no ponto (10, 20) houve o acionamento dos propulsores, e que a cápsula aterrissou ao nível do mar a 200 km do local de lançamento, o valor que mais se aproxima da altura máxima atingida pela cápsula é: 

a) 210 km. 
b) 200 km. 
c) 107 km. 
►d) 105 km. 
e) 100 km.

Não consegui desenvolver essa equação, fiquei estagnada com duas incógnitas (a e b).

Como a cápsula foi lançada a partir da origem, sabemos que o ponto \((0,0)\) pertence a \(h(x)\).
\[
h(0) = 0 \Leftrightarrow c = 0 \implies h(x) = a x^2 + bx \tag{1}
\]
Note que a cápsula aterrissa ao nível do mar a 200 metros da origem, ou seja, o ponto \((200,0)\) pertence a \(h(x)\).

Com isso temos as raízes da parábola sendo iguais a \( 0 \) e \(200\). Reescrevendo \(h(x)\) em função das raízes:
\[\tag{2}
h(x) = a x(x-200)
\]
Como \(h(x) = ax^2 + bx\)
\[
-200ax = bx \implies b = - 200a
\]
O enunciado diz implicitamente que o ponto \((10,20)\) pertence à parábola:
\[
h(10) = 20 \Leftrightarrow 100a + 10 b \overset{(1)}{=} 20 \Leftrightarrow 100 a - 2000a = 20 \Leftrightarrow a = -\frac{20}{1900} = - \frac{1}{95}
\]
A altura máxima ocorre no eixo de simetria da parábola em relação às raízes \(0\) e \(200\), ou seja, em \(x = \frac{0+200}{2} \ \mathrm{km}\):
\[
h_{m\acute{a}x} = h(100) \overset{(2)}{=} - 100 \cdot 100 \cdot a = 100 \cdot 100 \cdot \frac{1}{95} = 105 \ \mathrm{km}
\]

Muito obrigada! Me esqueci de usar esse ponto que foi dado...