Regra de Cramer

por Ana Clara Macêdo Qui 04 Ago 2022, 10:51

Em uma empresa de venda de carros, são vendidos três modelos de carros, em três versões diferentes, e o faturamento pode ser escrito na forma matricial $Regra de Cramer 2a25ebb2d0a2c9b5e776dbaeac966a7e.png?latex=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D-1%262%261%5C%5Ck%261%26-1%5C%5C2k%262%263%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5C%5Cy%5C%5Cz%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%5C%5C0%5C%5C0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D$

Para que o sistema tenha soluções próprias, o valor de k é:
a)-2
b)-1/2
c)0
d)1/2
e)2

É possível encontrar o valor de k utilizando a regra de Cramer? Se não, é por ter mais variáveis (x,y,z,k) do que soluções triviais (0,0,0)? Eu até tentei, mas posso ter feito algo errado para não dar o resultado do gabarito...

por **Rory Gilmore** Qui 04 Ago 2022, 12:56

Não é possível usar a regra de Cramer.

Escalonando o sistema:
- 1 2 1
k 1 -1
2k 2 3

-1 2 1
0 1 + 2k k - 1
0 2 + 4k 3 + 2k

-1 2 1
0 1 + 2k k - 1
0 0 5

O sistema tem uma variável livre se:
1 + 2k = 0
k = - 1/2

Logo, SPI se k = - 1/2.

por Ana Clara Macêdo Qui 04 Ago 2022, 14:31

Mais uma dúvida: na primeira resolução que vi dessa questão, o professor igualou o determinante da primeira matriz a zero e o k deu -1/2. Por que isso garante um SPI e não um SI? Tem a ver com as soluções 0,0,0? Pareceu mais simples, pois não precisa escalonar (método que ainda não aprendi, inclusive), mas me deixou confusa.