Geometria Analítica

(ITA - 2016 - 1ª FASE)
Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então o valor de a é igual a

A) [latex]2\sqrt{5}-1[/latex]


B) [latex]2\sqrt{6}-1[/latex]


C) [latex]3\sqrt{5}-4[/latex]


D) [latex]2\sqrt{7}-2[/latex]


E) [latex]3\sqrt{7}-5[/latex]

Spoiler:

Vamos encontrar a área da figura.



A = (1/2)|2.1 -1.6 -4.4|
A = (1/2)| 2 -6 -16|
A = (1/2) |-20|
A = 20/2
A = 10

Dessa forma, quando dividirmos a área em duas partes iguais, ela será igual a metade da área total:

A/2 = 10/2 = 5

Vamos agora achar a área de uma das metades da figura:



10 = |ay+a-2|

Pela figura vemos que a>2 e y >2, logo ay+a-2 > 0. Poderíamos deixar em módulo mesmo e analisar, mas como fizemos a figura vamos cortar caminho )

10 = ay + a -2

ay + a = 12


Faremos um alinhamento de pontos do ponto (a,y), (0,1) e (6,4):



6+4a-6y-a=0

3a+6=6y

a+2=2y

Resolvendo o sistema:

a+2=2y
ay + a = 12


a(a+2)/2 + a = 12

a²+4a = 24

a² + 4a - 24 = 0

Outro modo possível

Sejam A(0, 1), B(2, 0), C(4, 0), D(6, 4), E(6, 0), O(0, 0)

1) Calcular a equação da reta AD ---> y = x/2 + 1 ---> h(a, a/2 + 1)

2) Área de ABfh = área trapézio OAfh - área triângulo OAB ---> I

3) Área de CDhf = área trapézio DEfh - área triângulo CED ---> II

I = II ---> Calcule a

Muito obrigado, cavalheiros.