Álgebra Linear e Geometria Analítica

Pelo ponto P(0,2) traçam-se as duas retas tangentes à circunferência [latex]x^2+y^2=2[/latex]. Calcular a distância entre os pontos de tangência

Gabarito: 2

Bom dia Asp_Mega,

1) Seja [latex]y = ax+b[/latex] a equação das retas que tangenciam a circunferência, sabemos que ambas contém o ponto [latex]P=(0,2)[/latex], assim, [latex]b = 2[/latex]

2) Sabendo que a distância entre a origem e a reta é o raio da circunferência, temos que: [latex]\frac{|a\cdot0+-1\cdot0+2|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}} = \sqrt{2}[/latex], portanto [latex]a = \pm 1[/latex]

3) Assim, os pontos que tangenciam a circunferência ([latex]P_1[/latex] e [latex]P_2[/latex]) podem ser obtidos através da intersecção das retas e a circunferência: [latex]x^2 + (x+2)^2=2[/latex], resultando em [latex]x = \pm 1[/latex], e [latex]y = 1[/latex], assim a distancia entre os pontos [latex]P_1=(1,1)[/latex]e [latex]P_1=(-1,1)[/latex] é de 2.