Equaçao trigonométrica

por **abelardo** Seg 07 Nov 2011, 12:15

Resolva a seguinte equaçao em R:

$\sin x + \cos x = -1$

1ª Resoluçao (Feita por mim):

$\\sin x + \cos x = -1 \\\left ( sin x + \cos x \right )2^{} = (-1)^{2} \\sin^{2} x+2\cdot\sin x \cdot \cos x+\cos^{2}x=1 \\2\cdot\sin x \cdot \cos x+(sin^{2} x+\cos^{2}x)=1 \\\sin x\cdot \cos x=0 \\\\ \sin x = 0 \to x=\pi \cdot k \\ \cos x =0 \to x= \frac{\pi}{2} k$

2ª Resoluçao (Feita por mim):

$\left\{\begin{matrix} \sin x + \cos x = -1 \\ \sin^{2}x+\cos^{2} x =1 \end{matrix}\right.$

$\bg_green \sin x= -1 - \cos x$

$\left ( -1-\cos x \right )^{2}+\cos^{2}x=1 \\1+2\cos x + \cos^{2}x+\cos^{2}x=1 \\2\cos^{2}x+2\cos x=0 \\\cos x(\cos x +1)=0 \\\\ \cos x=0 \to x=\frac{\pi}{2}\cdot k \\ \cos x=-1 \to x= \pi + 2\pi \cdot k$

3ª resoluçao (Manual do Professor)

$\sin x + \sin \left ( \frac{\pi}{2}-x \right )=-1 \\ \sqrt2\cdot \cos \left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=-1 \\ \cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt2}{2} \\ \cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )= \cos \frac{3\pi}{4} \to {\color{Red} x= \pi +2\pi k} \\\\ \cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )= \cos \frac{5\pi }{4} \to {\color{Red} x= \frac{3\pi}{2}+2\pi k }$

Gostaria de ver comentários sobre as minhas resoluçoes. Postem as suas também se possível!

por **Elcioschin** Seg 07 Nov 2011, 18:46

1ª solução

senx*cosx = 0

senx = 0 ----> x = k*pi

cosx = 0 ----> x = k*pi/2 ----> Errado:

Para k = 0 -----> x = 0 ----> Falso -----> cos0 = 1 (e não cos 0º = 0)
Para k = 1 ----> x = pi/2 ----> verdadeiro
Para k = 2 ----> x = pi ----> Falxo ---> cospi = - 1

cox = 0 ----> x = k*pi - pi/2 e x = k*pi + pi/2 ----> x = k*pi + - pi/2

2ª solução ----> Mesmo erro para cosx = 0

3ª solução ----> Suponho que ele aplicou a fórmula:

senp + senq = 2*sen[(p + q)/2]*cos[(p - q)/2] onde p = x e q = pi/2 - x.

Neste caso daria senx + sen(pi/2 - x) = 2*sen(pi/4)*cos[(2x - pi)/2] = \/2*cos(x - pi/4)

Equaçao trigonométrica

Equaçao trigonométrica

Re: Equaçao trigonométrica

Um fórum livre e democrático.