Equação Irracional

A soma das raízes da equação  é igual a:

a) -14 
b) -15 
c) -16 
d) -17 
e) -18 

gabarito:

Um possível caminho:

Fazendo 1 - x = y⁴ --> x = 1 - y⁴

∜(1 - x) + ∜(15 + x) = 2

∜(y⁴) + ∜(15 + 1 - y⁴) = 2

y + ∜(16 - y⁴) = 2

∜(16 - y⁴) = 2 - y ---> Eleve ambos os membros à 4ª potência: Equação do 4º grau

Obrigado pela ajuda, mestre. Vou tentar prosseguir. 

Pra essa questão, uma outra coisa que você pode fazer seria o seguinte.

[latex]a = \sqrt[4]{1 - x}\,\,\,\,\,b = \sqrt[4]{15 + x}[/latex]

Perceba que "a + b = 2" e que "a⁴ + b⁴ = 16". 

Agora veja que:

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³  + b⁴
16 = 16 + 4ab(a² + b²) + 6(ab)²
ab(4((a+b)² - 2ab) + 6ab) = 0
ab(16 - 8ab + 6ab) = 0
ab(16 - 2ab) = 0

Daí tiramos que ab = 0 ou ab = 8, se ab = 0 então tiramos que a = 0 ou b = 0, logo x = 1 ou x = -15.

Se ab = 8, considere então o polinômio que tem como a e b como raízes, ele será k² - (a+b)k + ab, ou seja, k² - 2k + 8 = 0, mas veja que ele só possui raízes imaginárias, logo nenhum valor real de x satisfaz tal relação.

Olhando pra resposta eu acho que o exercício queria x real, então vou nem continuar calculando esses valores complexos.

Daí vemos que a soma dos valores de x que satisfazem tal relação será 1 - 15 = - 14

Genial, fantecele. Suas sacadas são muito boas, nunca havia visto essa ideia. Muito obrigado pela ajuda, mestres. 

Opa, então, tenta dar uma olhada na revista Eureka de número 25, na parte que fala de "polinômios simétricos", eu nunca cheguei a usar muuuuito isso não kk, depende muito também pra que prova você está estudando, mas bem, é bom saber da existência disso, me ajudou a fazer esse exercício por exemplo kk. Não é muito difícil de aprender isso não, a ideia é bem simples, apesar de lá na revista estar como "nível avançado" eu acho que não chega nisso tudo não.