Circunferência tangente ao eixo das abscissas...

por chem1st Seg 16 maio 2022, 03:48

Considere uma circunferência que passa pelos pontos A(9,2) e B(8,1) e é tangente ao eixo Ox. Encontre, pois, a(s) equação(ões) geral(is) da(s) circunferência(s) que resolve(m) tal enunciado.

Agradeço pela ajuda!

por **qedpetrich** Seg 16 maio 2022, 13:00

Olá Chem1st;

Usando como base a equação característica de circunferências em um plano x,y: (x-x_o)² + (y-y_o)² = R², então:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cmathrm%7B%289-x_o%29%5E2+%282-y_o%29%5E2%3DR%5E2%7D%5C%5C%20%5Cmathrm%7B%288-x_o%29%5E2+%281-y_o%29%5E2%3DR%5E2%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Resolvendo tal sistema:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

Aplicando a diferença de quadrados:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

A reta que representa o eixo Ox é a reta t: y = 0, logo, a distância entre o centro da circunferência até a reta t, deve ser igual ao raio, portanto:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

Substituindo tais relações no sistema, temos que:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

Dessa forma, y_o já está determinado:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

As equações das circunferências são:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cmathrm%7B%5Clambda_1%3A%28x-5%29%5E2+%28y-5%29%5E2%3D25%7D%5C%5C%20%5Cmathrm%7B%5Clambda_2%3A%28x-9%29%5E2+%28y-1%29%5E2%3D1%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Graficamente, temos:

Circunferência tangente ao eixo das abscissas... 9iVMkXOYu4kCnVWQgEAiERkvsIBEImQnIfgUDIREjuIxAImQjJfQQCIRMhuY9AIGQiJPcRCIRMJEktg1kwzUCytQwSIS4IbgbEBRGYgaxdyFKr1Zg7khAzYkbMiJlszMiYl0AgZCIk9xEIhEzkfxSLdiW098mUAAAAAElFTkSuQmCC

Circunferência tangente ao eixo das abscissas... 9iVMkXOYu4kCnVWQgEAiERkvsIBEImQnIfgUDIREjuIxAImQjJfQQCIRMhuY9AIGQiJPcRCIRMJEktg1kwzUCytQwSIS4IbgbEBRGYgaxdyFKr1Zg7khAzYkbMiJlszMiYl0AgZCIk9xEIhEzkfxSLdiW098mUAAAAAElFTkSuQmCC

Tens o gabarito?

por chem1st Seg 16 maio 2022, 21:54

qedpetrich escreveu:Olá Chem1st;

Usando como base a equação característica de circunferências em um plano x,y: (x-x_o)² + (y-y_o)² = R², então:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cmathrm%7B%289-x_o%29%5E2+%282-y_o%29%5E2%3DR%5E2%7D%5C%5C%20%5Cmathrm%7B%288-x_o%29%5E2+%281-y_o%29%5E2%3DR%5E2%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Resolvendo tal sistema:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

Aplicando a diferença de quadrados:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

A reta que representa o eixo Ox é a reta t: y = 0, logo, a distância entre o centro da circunferência até a reta t, deve ser igual ao raio, portanto:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

Substituindo tais relações no sistema, temos que:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

Dessa forma, y_o já está determinado:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif$

As equações das circunferências são:

$Circunferência tangente ao eixo das abscissas... Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cmathrm%7B%5Clambda_1%3A%28x-5%29%5E2+%28y-5%29%5E2%3D25%7D%5C%5C%20%5Cmathrm%7B%5Clambda_2%3A%28x-9%29%5E2+%28y-1%29%5E2%3D1%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Graficamente, temos:

Tens o gabarito?

O gabarito é exatamente esse, muito obrigado. Faltou, a mim, a ideia para resolver essa questão. Agora consigo responder todas do mesmo tipo.

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