AFA 2007 - Inequações - dúvida

Classifique em verdadeiro ou falso a afirmativa a seguir:
I.O domínio da função real f definida por f(x)=arc cos 1/x-1  é o conjunto {x ∈ ℝ/ x≤0 ou x≥2}

Galera, eu até consegui desenvolver, mas surgiu uma dúvida no final. Observem meus cálculos:   -1≤ 1/x-1≤ 1
       •x/x-1≥0 ---- x≥0 e x>1
       •2-x/x-1≤0------ x<1 e x≥2
O problema vem agora... já que são inequações-quociente, eu achei que deveria fazer a tabela de sinais(varal) e, então,a intersecção. Porém, na resolução que vi não tem tabela de sinais (vai direto pra intersecção e chega no resultado). Alguém pode me explicar o motivo de não ter tal varal?

OBS: Gab: a afirmativa é verdadeira

Você errou em um sinal ---> cosθ = 1/(x - 1)

-1 ≤ cosθ ≤ 1 ---> - 1 ≤ 1/(x - 1) ≤ 1

Na 1ª inequação ---> - 1 ≤ 1/(x - 1) ---> 1/(x - 1) + 1 ≥ 0 ---> x/(x - 1) ≥ 0 ---> x ≠ 1

Tabela de sinais (varal)

.............................. 0 .................... 1 ............................
x ---------------------- 0 +++++++++++++++++++++++
x - 1 ------------------------------------- N ++++++++++++

Intervalo ---> x  ≤ 0 e x > 2 ---> Você escreveu errado x ≥ 0

Na 2ª inequação vc acertou ---> O gabarito está correto

É necessário fazer os dois varais e a interseção entre eles.