Tangentes a elipse.

por Bergamotinha OwO Sex 15 Abr 2022, 19:35

Encontre as equações de ambas as retas tangentes à elipse x² + 4y² = 36 que passam pelo ponto (12,3).

Resp.: Sem gabarito.

Boa noite, amigos!
Eu derivei a equação da curva dada por derivação implícita, chegando em:
x² + 4y² = 36 ----> 2x + 8y.y' = 0 ----> 8y.y' = -2x ----> y' = (-x) / 4y

Então eu substitui o ponto dado, porém, a equação que achei em seguida n é tangente a curva(fui confirmar no geogebra e vi q tava errado) e tbm eu só tinha achado uma delas...

Oq fiz de errado?
Vlww! cheers

por **Elcioschin** Sex 15 Abr 2022, 19:54

Sejam m os dois coeficientes angulares das duas retas

Equação das retas ---> y - 3 = m.(x - 12) ---> y = m.x + 3 - 12.m

x² + 4.y² = 36 ---> x² + 4.(m.x + 3 - 12.m)² = 36 ---> Monte uma equação do 2º grau do tipo a.x² + b.x + c = 0

Para as retas serem tangentes, o discriminante ∆ deverá ser nulo ---> ∆ = b² - 4.a.c = 0

Calcule os dois valores de m e obtenha as duas equações.

por **qedpetrich** Sex 15 Abr 2022, 20:02

Olá Bergamotinha;

Uma ideia envolvendo somente conceitos do ensino médio.

Como as retas passam pelo ponto (12,3) então essas possuem o formato:

$Tangentes a elipse. Png$

Substituindo na elipse:

$Tangentes a elipse. Png$

Na configuração de intersecções tangentes, temos a condição de ∆ = 0, logo:

$Tangentes a elipse. Png$

Portanto a reta procurada é:

$Tangentes a elipse. Png$

Vou revisar aqui só consegui encontrar uma reta.

por **qedpetrich** Sex 15 Abr 2022, 20:05

Compreendi a analise de só conseguirmos encontrar um único valor para m. Isso significa que a outra reta só pode ser paralela ao eixo das abscissas, pois, m = 0, assim, a outra reta procurada, trata-se de y = 3

por **Giovana Martins** Sex 15 Abr 2022, 20:06

Dica: note que a questão diz que as retas tangentes à elipse passam pelo ponto (12,3) e não que elas são tangentes à elipse no ponto (12,3), por este motivo a substituição te leva ao erro.

Veja que o ponto (12,3) sequer pertence à circunferência, pois: (12)² + 4 x (3)² ≠ 36.

Se você não conseguir finalizar, avise.

por Bergamotinha OwO Sex 15 Abr 2022, 20:18

Olá pessoal!

Brigadão pela ajuda!
Realmente, n me toquei essa diferença no enunciado da questão q vc Gi pontuou... o ponto (12,3) nem tá na curva

Consegui compreender as resoluções direitinho! Tangentes a elipse. 503132