AFA - triângulos

(AFA) ABC é um triangulo retângulo em A e CX é bissetriz do angulo [latex]B\widehat{C}A[/latex],onde X é o ponto do lado AB.
A medida de CX é 4 cm e a de BC é 24cm.
Sendo assim, calcule AC em centímetros

GABARITO: 3cm

Amigos, vi uma resolução por trigonometria, muito boa aliás, mas gostaria de fazê-la através do teorema da bissetriz interna (1° coisa que pensei), seria possível ?

AB = c  ---> AC = b ---> BC = 24 ---> CX = 4 ---> b² = c² = 24² ---> I

Seja AX = k ---> BX = c - k

Lei da bissetriz interna ---> AC/AX = BC/BX ---> b/k = 24/(c - k) ---> II

Seja A^BC = 2.θ --> A^CX = B^CX = θ

A^XC = 90º - θ ---> B^XC = 90º - θ ---> C^BX = 90º - 2.θ

Lei do senos:

∆ ACX --->  b/sen(90º - θ) = k/senθ = 4/sen90º ---> b/cosθ = k.senθ = 4 ---> III

∆ BCX --->  24/sen(90º + θ) = (c - k)/senθ = 4/sen(90º - 2.θ) ---> 24/cosθ = (c - k)/senθ = 4/cos(2.θ) ---> IV

Complete

Acho que usar o teor. da bissetriz interna não é boa escolha porque temos três dimensões desconhecidas (AX, BX e AC), além do mais este teorema não relaciona o comprimento da bissetriz que é o dado no enunciado.

Há muitos anos, depois de muita conta que não consigo mais refazer, cheguei numa fórmula para o comprimento da bissetriz interna. Uso-a na solução abaixo.

Mas existe na internet (também em artigos e livros) um fórmula para o comprimento relacionando o perímetro. Novamente, neste caso resultará em mais conta pois queremos a medida de "b" e um dos lados ficará como sqrt(24² - b²).



a fórmula que uso aplica-se ao comprimento da bissetriz interna de qualquer triângulo e é decorada como: o comprimento da bissetriz interna é a média harmônica dos lados vezes o cosseno de metade do ângulo entre eles.

veja também:
https://pir2.forumeiros.com/t11456-comprimento-da-bissetriz-g-analitica
https://pir2.forumeiros.com/t3297-comprimento-da-bissetriz