Soma dos coeficientes do polinômio multi-variável

Considere o polinômio de multiplas variáveis [latex]P(x,y,z,w) = (x+ y +z)^{2}(x + y + w)^{3}(x + z + w)^{4}(y + z + w)^{5}[/latex]. Calcule a soma dos coeficientes dos termos desse polinômio que estejam associados a exatamente três das quatro variáveis.

Essa questão foi proposta a mim muito tempo atrás, infelizmente eu perdi contato com a pessoa que a elaborou. Desde então permaneço sem saber resolvê-la e tampouco possuo o gabarito. De vez em quando a minha mente me cutuca e eu acabo por lembrar desse exercício. Alguém consegue resolver sem abrir a expressão toda?

Desde já agradeço a ajuda.

Imagine que as três variáveis sejam x, y, z ---> Fazendo x = y = z = 1 e w = 0:

(1 + 1 + 1)².(1 + 1 + 0)³.(1 + 1 + 0)⁴.(1 + 1 + 0)⁵ = 3².2³.2⁴.2⁵ = 9.8.16.32

Idem deve ser feito também para (x, y, w), (x, w, z) e (y, w, z)

Oi Élcio! Obrigado por responder.

Olha eu até pensei que era desse jeito, mas parece que ele falha em casos menos complicados.

Pegando os coeficientes com duas variáveis de um caso mais simples [latex](x+y)^2[/latex]

[latex](x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy [/latex]

Valor calculado = 2

Suposição = [latex](1+1)^2 = 4[/latex]