Física - Eletrostática - Casca Esférica

5) Uma casca esférica com raio interno R e externo 3R tem uma densidade volumétrica de carga +ρ. Existe uma cavidade de raio R, conforme a figura. O valor do campo elétrico em O1, centro da cavidade vale:



a) zero
b) 11ρR/24εo
c) 7ρR/12εo
d) 23ρR/6εo
e) 2ρR/3εo

Gabarito: C

Desde já muitíssimo obrigado pela ajuda!! 

Fala, coqzieiro.
Primeiro, vou demonstrar o valor do campo elétrico interior a uma superfície esférica uniformemente carregada:

Pela simetria, o módulo do campo elétrico é radial e, dada uma distância fixa do centro, constante.
Lei de Gauss:
[latex]\oint{\vec{E}.d\vec{A}} = E.A = \frac{q}{\epsilon_0}[/latex]

Mas:

[latex]\rho = \frac{q}{V} -> q = \rho.\frac{4}{3}\pi.r^3[/latex]

Logo:

[latex]E.4.\pi.r^2 = \frac{\rho.\frac{4}{3}\pi.r^3}{\epsilon_0}[/latex]

[latex]E = \frac{\rho.r}{3\epsilon_0}[/latex]

No exterior, o campo elétrico gerado é idêntico ao de uma carga pontual:
[latex]E = \frac{q}{4\pi.\epsilon_0.r^2}[/latex]

Agora, podemos fazer uma superposição de efeitos na situação dada. O campo elétrico resultante pode ser gerado por uma esfera isolante +ρ associado a duas esferas isolantes de densidade de carga -ρ.

[latex]E_r = E_+ + E_{1-} + E_{2-}[/latex]

[latex]E_r = \frac{\rho.2R}{3\epsilon_0} - \frac{\rho.\frac{4}{3}.\pi.R^3}{4.\pi.\epsilon_0.(2R)^2}[/latex]

[latex]E_r = \frac{\rho.2R}{3\epsilon_0} - \frac{\rho.R}{12\epsilon_0}[/latex]

[latex]E_r = \frac{7\rho.R}{12\epsilon_0}[/latex]

Uma dúvida, na superposição dos campos, por que não considera o campo elétrico externo do condutor isolante? Sei que na casca condutora Eint = 0, mas como posso deduzir a natureza da casca apenas com as informações do enunciado? 

De qualquer forma, muitíssimo obrigado João,

 

Opa, não temos condutores na questão, a casca está uniformemente carregada. Caso fosse condutora não haveria campo elétrico interno pois todas as cargas estariam na superfície. Consegue ver?

Sim, mas tu disse:"... agora, podemos fazer uma superposição de efeitos na situação dada. O campo elétrico resultante pode ser gerado por uma esfera isolante +ρ associado a duas esferas isolantes de densidade de carga -ρ..."

Geralmente esferas isolantes possuem campo elétrico interno linear definido por E(r) = (|ρ|.r)/3εo

Ah, sim. Mas eu considerei isso. Não? A E+ vem dessa fórmula que tu disse, tem uma E- que temos que calcular o campo no centro dela, então o campo gerado por ela é nulo (r=0) e outra E- é o campo elétrico gerado por uma isolante exteriormente. Acho que não entendi sua pergunta.

São duas coisas totalmente diferentes:

1) Numa esfera condutora (maciça ou oca) carregada, as cargas se distribuem uniformemente pela superfície da esfera. Logo não existe nenhuma carga elétrica no interior da esfera. O campo elétrico no interior da esfera é nulo e o potencial elétrico no interior é constante e igual ao ao potencial da superfície.

2) Numa esfera isolante, a distribuição de cargas Q é volumétrica, isto é, as cargas se distribuem por todo o volume V da esfera (e não só pela superfície). 
À relação ρ = Q/V dá-se o nome de densidade volumétrica de cargas.

Logo, para se calcular o campo no exterior. considera-se, matematicamente, que toda a carga Q se encontra no centro da esfera.

No caso desta questão as duas esferas ocas no interior, comportam-se como se produzissem campos negativos no exterior e a carga da esfera maior produz um campo positivo.

Ata, acho que não me expressei da melhor forma, mas minha dúvida era se o campo externo gerado pela esfera de raio 3R influencia no campo elétrico resultante em O1.

Mas isso não faz sentido já que o campo elétrico externo da esfera isolante nem interage com essa região do espaço (O1), já que é um campo de afastamento..

De qualquer forma, muitíssimo obrigado João e me desculpe pela confusão, 

Tranquilo, mano. Qualquer dúvida só chamar.