matemática - geometria analítica

(en) As equações simétricas da reta de interseção dos planos 2x – y – 3 = 0 e 3x + y + 2z – 1 = 0, x, y, z ∈ ℝ são:

gab: x/2 = y + 3/4 = 2 - z/5

Fala, Júlia.
Pela equação dos planos, (2,-1,0) é um vetor perpendicular ao plano 2x - y - 3 = 0 e (3,1,2) é perpendicular ao plano 3x + y + 2z - 1 = 0.
Agora, sabendo o produto vetorial desses dois vetores e um ponto na interseção dos planos, podemos descobrir a equação de reta:

Vou definir que esse ponto P tem z = 0, agora tenho que resolver o sistema:
2x - y - 3 = 0
3x + y - 1 = 0
O qual possui resposta (x,y) = (4/5,-7/5)

Calculando o produto vetorial pelo seguinte determinante:
[latex]\begin{displaymath} \begin{pmatrix} i&j&k\\ 3&1&2\\ 2&-1&0 \end{pmatrix} \end{displaymath}[/latex]
Achamos o vetor (2,4,-5).

Agora, qualquer ponto P' que está na reta está na forma:
(x,y,z) = (4/5,-7/5,0) + t(2,4,-5)       (O ponto P' é (4/5,-7/5,0) + um múltiplo do vetor (2,4,-5)

Logo, temos:
x = 4/5 + 2t
y = -7/5 + 4t
z = 0 - 5t

Isolando o t para acharmos a equação simétrica:
-z/5 = y/4+7/20 = x/2-4/10
Somando 2/5 na igualdade:
[latex]\frac{x}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{2-z}{5}[/latex]

Uma outra forma de resolver.

Temos o sistema:
2x – y = 3
3x + y + 2z = 1

Somando as duas equações vem:
5x + 2z = 4

Duas soluções do sistema são:
(0, - 3, 2)
(2, 1, - 3)

Logo a reta é dada por:
(x, y, z) = (0, -3, 2) + λ.(2, 4, - 5) com λ ∈ ℝ

Que tem equações paramétricas:
x = 2λ
y + 3 = 4λ
z - 2 =  - 5λ

E equações simétricas:
λ = x/2 = (y + 3)/4 = (z - 2)/-5