Indução - Putnam 2009

A tentativa mais simples seria verificar para quais n pode-se armar a inequação:

[latex] \sqrt{n+1} + \frac{4n + 3}{6}\sqrt{n} < \frac{(4(n+1) +3)}{6}\cdot \sqrt{n+1} [/latex]

Pois assim você pode usar a transitividade das desigualdades para armar a senteça (I):

[latex]\scriptsize{ S_{n+1} <(\sqrt{n+1} + \frac{4n + 3}{6}\sqrt{n}) \text{ }, \text{ } \text{ } (\sqrt{n+1} + \frac{4n + 3}{6}\sqrt{n}) <( \frac{[4(n+1) +3]}{6}\cdot \sqrt{n+1}) \implies S_{n+1} < (\frac{(4(n+1) +3)}{6}\cdot \sqrt{n+1})}[/latex]

[latex] \scriptsize{(\sqrt{n+1} + \frac{4n + 3}{6}\sqrt{n}) < (\frac{[4(n+1) +3]}{6}\cdot \sqrt{n+1}) \implies \frac{4n + 3}{6}\sqrt{n} < (\frac{[4(n+1) +3]}{6}\cdot \sqrt{n+1} - \sqrt{n+1}) \implies}[/latex]

[latex]\scriptsize{\frac{4n + 3}{6}\sqrt{n} < \frac{[4n +1]}{6}\cdot \sqrt{n+1} \implies (4n+3)\sqrt n < (4n+1)\sqrt{n+1} \implies{ ((4n+3)\sqrt n )^2} <{((4n+1)\sqrt{n+1} )^2} \implies}[/latex]

[latex](16n^3 + 24n^2 + 9n )< (16n^3 + 8n^2 +n + 16 n^2 + 8n +1) \implies 0 < 1[/latex]

Ou seja, se [latex] S_{n} < \frac{4n + 3}{6}\sqrt n[/latex] então [latex] \sqrt{n+1} + \frac{4n + 3}{6}\sqrt{n} < \frac{(4(n+1) +3)}{6}\cdot \sqrt{n+1} [/latex] é verdade. Assim (I) está comprovada.

Para finalizar a indução basta provar o caso inicial n=1:

[latex]S_1 < \frac{4\cdot 1 + 3}{6} \Leftrightarrow 1 < \frac{7}{6}[/latex]